【知识点详解】
1. 二次函数的定义：二次函数是一类数学函数，一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a 不等于 0。题目中的选项A、B、C和D分别对应了不同的函数形式，只有A项y=x^2符合二次函数的定义。
2. 二次函数的条件：函数 y=ax^2+bx+c 是二次函数的必要条件是 a ≠ 0，不论 b 和 c 是否为零。选项A正确。
3. 二次函数图象与a的关系：a决定了二次函数图象的开口方向。当 a > 0 时，图象开口向上；当 a < 0 时，图象开口向下。因此，B选项"开口方向"与a的符号有关。
4. 二次函数的性质：根据图1所示，可以判断函数开口向下，因此a<0，对称轴x=-b/2a，但无法直接确定b、c的符号，所以不能确定顶点坐标、开口大小和对称轴的具体位置。选项A、B、C、D没有足够的信息来判断是否正确。
5. 二次函数的标准形式：y=x^2+2x+1 可以通过配方法转换为顶点形式 y=a(x-h)^2+k，即y=(x+1)^2。对比选项，选项B正确。
6. 求解二次函数的值：对于函数 y=4x^2+1，当函数值为5时，即4x^2+1=5，解得x=±1。因此，选项C正确。
7. 二次函数的性质：对于命题的真假判断：
- ① 当c=0时，函数y=ax^2+bx是关于原点对称的，因此图象会经过原点，真命题。
- ② 当b=0时，函数y=ax^2+c是对称轴为y轴的二次函数，真命题。
- ③ 函数的最高点或最低点的纵坐标取决于a的符号，但题目中未提供a的信息，无法判断，假命题。
- ④ 当c>0且开口向下（a<0）时，判别式Δ=b^2-4ac>0，方程有两个不相等的实根，真命题。
有1个假命题，选项B正确。
8. 解析几何应用：根据抛物线的图像，可以判断抛物线的开口方向和对称轴，进而求解相关参数。由于没有具体图像，这里只能给出一般性的分析，无法给出具体结论。
9. 投掷运动的物理模型：运动员掷铅球的高度y与水平距离x之间的关系是二次函数y=-x^2+bx+c。根据函数的开口方向和极值点，可以求解掷铅球的成绩，但题目中没有给出具体的图像，无法直接得出答案。
10. 抛物线的几何应用：水流抛物线的最高点M离墙1m，离地面h，可以通过建立方程求解水流落地点B离墙的距离OB。由于没有具体的数据，也无法直接计算。
11. 圆的面积公式：圆的面积S=πr^2，其中r是半径，r是自变量，S是因变量。
12. 长方形剪切问题：长方形剪切后剩余部分的面积y=8*(6-x)，x是自变量，y是因变量。
13. 二次函数的识别：二次函数需满足最高次幂为2，因此① y=-x^2 和④ m=3-t-t^2 是二次函数。
14. 抛物线的开口方向与对称轴：抛物线y=-3(2x^2-1)的开口方向由-3决定，开口向下；对称轴为x轴，因为不含一次项。
15. 抛物线的顶点坐标：抛物线y=(x+3)^2的顶点坐标为(-3,0)。
16. 抛物线平移后的顶点坐标：抛物线y=3x^2向上平移3个单位后，顶点坐标从(0,0)变为(0,3)。
17. 圆面积的变化：新圆的面积S与半径增量m的关系式为S=π(r+m)^2。
18. 抛物线的解析式与实际应用：由题意知，二次函数的顶点为(8,9)，起点为(1,1)，可设函数为y=a(x-h)^2+k，代入点坐标解得a和h，从而得到函数表达式和抛物线的水平距离。
19. 速度与时间的关系：这通常用直线或曲线表示，可能是线性函数或二次函数，但具体代号无法给出，需要具体情境。
以上是对九年级北师大版第二章二次函数单元测试中涉及的全部知识点的详细解析，涵盖了二次函数的定义、性质、图像特征以及在实际问题中的应用。
