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中考数学专题复习题及解析 1120讲17精选.doc
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2013 年中考数学专题复习第十三讲 反比例函数
【基础知识回顾】
一、 反比例函数的概念:
一般地:互数 y (k 是常数,k≠0)叫做反比例函数
【名师提醒:1、在反比例函数关系式中:k≠0、x≠0、y≠0
2、反比例函数的另一种表达式为 y= (k 是常数,k≠0)
3、反比例函数解析式可写成 xy= k(k≠0)它表明反比例函数中自变量
x 与其对应函数值 y 之积,总等于 】
二、反比例函数的同象和性质:
1、反比例函数 y= (k≠0)的同象是 它有两个分支,关于 对称
2、反比例函数 y= (k≠0)当 k>0 时它的同象位于 象限,在每一个象限内 y 随 x
的增大而 当 k<0 时,它的同象位于 象限,在每一个象限内,y 随 x 的增大而
【名师提醒:1、在反比例函数 y= 中,因为 x≠0,y≠0 所以双曲线与坐标轴无限接近,
但永不与 x 轴 y 轴
2、在反比例函数 y 随 x 的变化情况中一定注明在每一个象限内】
3、反比例函数中比例系数 k 的几何意义:
反曲线 y= (k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线 →
两线与坐标轴围成的形面积 ,即如图: AO BP=
S△AOP=
【名师提醒:k 的几何意义往常与前边提示中所谈到的 xy=k 联系起来理解和应用】
三、反比例函数解析式的确定
因为反比例函数 y= (k≠0)中只有一个被定系数 所以求反比例函数关系式只需
知道一组对应的 x、y 值或一个点的坐标即可,步骤同一次函数解析式的求法
一、 反比例函数的应用
二、 解反比例函数的实际问题时,先确定函数解析式,再利用同象找出解决问题的方案,
这里要特别注意自变量的
【重点考点例析】
考点一:反比例函数的同象和性质
例 1 (2012•张家界)当 a≠0 时,函数 y=ax+1 与函数 在同一坐标系中的图象
可能是( )
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/24640289/bg2.jpg)
A. B.
C. D.
思路分析:分 a>0 和 a<0 两种情况讨论,分析出两函数图象所在象限,再在四个选项中
找到正确图象.
解:当 a>0 时,y=ax+1 过一、二、三象限,y= 过一、三象限;
当 a<0 时,y=ax+1 过一、二、四象限,y= 过二、四象限;
故选 C.
点评:本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质,解题的关键是明确在同一 a 值的前
提下图象能共存.
例 2 (2012•佳木斯)在平面直角坐标系中,反比例函数
图象的两个分支分别在( )
A.第一、三象限 B.第二、四象限
C.第一、二象限 D.第三、四象限
思路分析:把 a
2
-a+2 配方并根据非负数的性质判断出是恒大于 0 的代数式,再根据反比
例函数的性质解答.
解:a
2
-a+2,
=a
2
-a+ - +2,
=(a- )
2
+7 4 ,
∵(a- )2≥0,
∴(a- )
2
+7 4 >0,
∴反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限.
故选 A.
点评:本题考查了反比例函数图象的性质,先判断出 a
2
-a+2 的正负情况是解题的关键,
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/24640289/bg3.jpg)
对于反比例函数 (k≠0):(1)k>0,反比例函数图象在一、三象限;(2)k<
0,反比例函数图象在第二、四象限内.
例 3 (2012•台州)点(-1,y
1
),(2,y
2
),(3,y
3
)均在函数 的图象上,
则 y
1
,y
2
,y
3
的大小关系是( )
A.y
3
<y
2
<y
1
B.y
2
<y
3
<y
1
C.y
1
<y
2
<y
3
D.y
1
<y
3
<y
2
思路分析:先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限,再根据各点的坐标
判断出各点所在的象限,根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答.
解:∵函数 中 k=6>0,
∴此函数的图象在一、三象限,且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小,
∵-1<0,
∴点(-1,y
1
)在第三象限,
∴y
1
<0,
∵0<2<3,
∴(2,y
2
),(3,y
3
)在第一象限,
∴y
2
>y
3
>0,
∴y
2
>y
3
>y
1
.
故选 D.
点评:本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,根据题意判断出函数图象所在象限
是解答此题的关键.
对应训练
1.(2012•毕节地区)一次函数 y=x+m(m≠0)与反比例函数 的图象在同一平
面直角坐标系中是( )
A. B. C. D.
1.C
2.(2012•内江)函数 的图象在( )
A.第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限
2.A
2.解:∵ 中 x≥0, 中 x≠0,
故 x>0,此时 y>0,
则函数在第一象限.
故选 A.
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/24640289/bg4.jpg)
3.(2012•佛山)若 A(x
1
,y
1
)和 B(x
2
,y
2
)在反比例函数 的图象上,且 0<
x
1
<x
2
,则 y
1
与 y
2
的大小关系是 y
1
y
2
.
3.>
考点二:反比例函数解析式的确定
例 4 (2012•哈尔滨) 如果反比例函数 的图象经过点(-1,-2),则 k 的值是
( )
A.2 B.-2 C.-3 D.3
思路分析:根据反比例函数图象上点的坐标特征,将(-1,-2)代入已知反比例函数的解
析式,列出关于系数 k 的方程,通过解方程即可求得 k 的值.解答:解:根据题意,得
-2= ,即 2=k-1,
解得 k=3.
故选 D.
点评:此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式,是中学阶段的重点.解答此题
时,借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点.
对应训练
4.(2012•广元)已知关于 x 的方程(x+1)
2
+(x-b)
2
=2 有唯一的实数解,且反比
例函数 的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大,那么反比例函数的关系式为(
)
A. B. C. D.
4.D
4.分析:关于 x 的方程(x+1)
2
+(x-b)
2
=2 有唯一的实数解,则判别式等于 0,据此
即可求得 b 的值,然后根据 反比例函数 的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大,
则比例系数 1+b<0,则 b 的值可以确定,从而确定函数的解析式.
解:关于 x 的方程(x+1)
2
+(x-b)
2
=2 化成一般形式是:2x
2
+(2-2b)x+(b
2
-
1)=0,
△=(2-2b)
2
-8(b
2
-1)=-4(b+3)(b-1)=0,
解得:b=-3 或 1.
∵反比例函数 的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大,
∴1+b<0
∴b<-1,
∴b=-3.
则反比例函数的解析式是:y= ,即 .
故选 D.
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