在数学的三角函数领域，同角三角函数关系是极其重要的基础知识，它们描述了正弦、余弦、正切、余切、正割和余割这六种基本三角函数在同一角度下的相互关系。这些关系对于解决复杂的三角问题和计算角度的大小至关重要。
1. 在第一题中，如果sinθ = 2cosθ，我们可以利用同角三角函数的基本关系来找到tanθ的值。由于sinθ/cosθ=tanθ，我们可以将给定的等式转换为tanθ = 2。因此，答案是B。
2. 第二题中，如果sin²α + cos²α = 1是勾股定理在三角函数中的形式，这是恒等式，无论角度α是多少。所以，sin²α = 1 - cos²α。现在我们可以求出sin(2α) = 2sinαcosα。这里需要用到二倍角公式sin(2α) = 2sinαcosα。填空后答案可能是A、B、C或D，具体取决于α的值。
3. 对于第三题，如果tanα<0，说明α位于第二象限，此时sinα>0，cosα<0。由于tanα = sinα/cosα，我们可以推断出sinα = -√(1 - cos²α)。根据题目条件，我们可以计算出sinα和cosα的值，进而得到答案。
4. 第四题涉及到三角恒等式的判断。例如，A选项sin²θ + cos²θ = 1是正确的；B选项sinθ = tanθ/cosθ，但这里tanθ不能为0，因为除数不能为0；C选项可能成立，因为sin(90° - θ) = cosθ；D选项也可能成立，因为cos(90° - θ) = sinθ。所以，正确答案可能是B、C或D。
5. 第五题中，如果tanα = 2，那么sin²α/cos²α = 4，即sin²α = 4cos²α。又因为sin²α + cos²α = 1，我们可以解出cos²α的值，然后求得sinα和cosα的乘积。
6. 第六题，如果cos²α = 3sin²α，可以得出1 - sin²α = 3sin²α，即sin²α = 1/4。同样，我们可以通过解方程找出sinα的值，并进一步求出cosα。
7. 第七题中，若tanα = 1，且α是锐角，那么α = 45°。此时，sinα = cosα = √2/2。根据题目条件，我们可以确定cos(2α)的取值范围。
8. 第八题涉及命题的真假判断，通常需要具体分析每个命题的三角恒等式是否成立。
9. 第九题，如果sin²α + cos²α = 1，我们可以直接得出tan²α + 1 = sec²α。
10. 第十题，如果tanβ = cotγ，那么β和γ的关系可能为β = γ或者β + γ = 90°。
11. 第十一题，求tan²α - cot²α的值，这通常需要应用到正切和余切的平方关系。
12. 第十二题，求sin(2α)和cos²(α/2)的值，需要用到二倍角公式和半角公式。
13. 十三题第一部分，化简sin(π - α) / cos(π + α)，利用诱导公式可以简化。
14. 十三题第二部分，如果sinα + cosα = m，平方后可得sin²α + cos²α + 2sinαcosα = m²。结合sin²α + cos²α = 1，我们可以求解sinαcosα的值，进一步判断三角形的形状。
15. 十四题中，如果2sinAcosB = sinC，根据三角形内角和为180°，有C = 180° - (A + B)，代入sinC = sin(A + B)的和角公式，我们可以判断三角形的形状，并计算其他角的度数。
这些题目覆盖了同角三角函数的基本关系，包括正弦、余弦、正切的平方关系，正弦和余弦的平方和为1，以及它们之间的相互转换。通过解题，学生可以巩固对这些关系的理解，并提高在实际问题中的应用能力。
