同角三角函数的基本关系是三角学中的核心概念，它们揭示了正弦、余弦和正切函数在同一个角度下的内在联系。这些关系对于解决复杂的三角问题至关重要，包括但不限于求解未知三角函数值、验证三角恒等式以及简化三角表达式。
我们需要了解基本的同角三角函数关系式：
1. 平方关系：
\[ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \]
这个关系被称为平方和为1的恒等式，它表明在一个角度中，正弦的平方加上余弦的平方总是等于1。
2. 商的关系（正切和余切的定义）：
\[ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad \text{和} \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \]
正切是正弦除以余弦，而余切则是正弦的倒数除以余弦。
3. 倍角公式：
\[ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta \]
\[ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta \]
4. 半角公式：
\[ \sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2} \]
\[ \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2} \]
利用这些基本关系，我们可以解决给定的问题。例如，问题1要求确定第三象限角的三角函数值。在第三象限，正弦和正切是负的，而余弦也是负的。所以，选项A和B都是可能正确的，因为它们包含负号。但具体哪个正确，我们需要根据题目给出的具体数值来判断。
问题2和3类似，需要利用平方关系和商的关系来确定答案。问题4和5则涉及到求解特定象限内的三角函数值，这需要综合应用平方关系、商的关系和象限规则。
问题6和7涉及到了角度的性质。例如，如果 \(\tan\theta = \tan\phi\)，那么 \(\theta = \phi + k\pi\)，其中 \(k\) 是整数。问题7中，如果 \(\sin\theta = -\cos\theta\)，那么可以推断 \(\theta\) 是第二或第四象限角，因为正弦和余弦在这些象限中符号相反。
总结来说，理解和熟练应用同角三角函数的基本关系是解三角问题的关键。它们不仅帮助我们计算未知的三角函数值，还能够用来简化和证明各种三角恒等式。通过不断地练习和应用这些关系，可以提高解决复杂三角问题的能力。
