【知识点讲解】
1. **等差数列的性质** - 在等差数列 {an} 中，根据等差中项的性质，有 a1 + a5 = 2a3，题目给出 a1 + a5 = 8，可以计算出 a3 = 4。又因为 a4 = 7，所以公差 d = a4 - a3 = 7 - 4 = 3。因此，a5 = a4 + d = 7 + 3 = 10。
2. **三角形的存在性** - 在三角形 ABC 中，如果已知两边 a 和 b 和它们夹角 B 的度数，根据余弦定理，可以判断三角形的存在性。题目中 B = 120°，所以这是一个钝角三角形。如果 a > bsin120°，则这样的三角形存在一个；如果 a = bsin120°，则存在两个重合的三角形；如果 a < bsin120°，则不存在满足条件的三角形。由于 a = 6，bsin120° = 5 * √3/2 ≈ 4.33，所以存在一个三角形。
3. **不等式比较** - 不等式 a > b 并不能直接推导出 a^2 > b^2，因为平方操作可能会改变不等号的方向。同样，ac^2 和 bc^2 的比较需要考虑 c 的正负，只有当 c ≠ 0 时，ac^2 > bc^2 才能确保 a > b。
4. **函数的最值** - 函数的最小值问题通常与函数的单调性和极值点有关。在给出的选项中，y = x + 1 没有最小值，y = sinθ + cosθ 在 θ = π/4 时取得最小值 2√2；y = sinθ + (0 < θ < π) 没有最小值，因为 sinθ 可以无限接近 -1；y = sinθ + cosθ (0 < θ < 2π) 同样在 θ = π/4 时取得最小值 2√2。
5. **三角形的性质** - 若 = ，则根据正弦定理，可以得出 a^2 = b^2 + c^2，这与直角三角形的勾股定理一致，因此该三角形为直角三角形。
6. **不等式的解集** - 解不等式 ax^2 + 5x^2 - b > 0 得到 x 的解集为 (x_1, x_2)，其中 x_1 = 和 x_2 = 2。这意味着 ax^2 - 5x^2 + b = (ax - b)(x - 2) = 0 的根为 x_1 和 2，从而可以推断 a = 5，b = 10。将这些值代入新不等式 ax^2 - 5x + a^2 - b > 0，得到 5x^2 - 5x - 9 > 0，解集为 (x_3, x_4)，其中 x_3 = 和 x_4 = 1，因此解集为 (x_3, 1)。
7. **三角函数的应用** - 这是一个使用三角函数解决实际问题的例子，通过角度和高度来确定河流的宽度。根据题意，可以构建直角三角形，利用正切函数 tan(75°) = BC/60 和 tan(30°) = BC/(60 + h)，其中 h 是气球的高度。联立这两个方程解出 BC。
8. **数列的递推关系** - 给定数列 an 的递推关系 an = an-1 - 1/n + n，对于 n ≥ 2，可以观察到这是部分分式分解后的形式，可以通过迭代法或特征根法求解数列的通项公式。
9. **线性规划** - 实数 x, y 满足约束条件：，目标函数 z = 2x + y 的最小值为 1，这可以通过线性规划求解，利用平面坐标系找到可行区域并找到目标函数的最小值点。
10. **等差数列的性质** - 由 S2015 > S2016 > S2014 可知，等差数列的前 n 项和 Sn 的情况表明，数列的公差 d < 0，因为随着 n 的增加，Sn 达到最大值后开始减小。关于命题的判断需要具体分析每个命题是否正确。
11. **海伦公式和余弦定理** - 在三角形 ABC 中，面积 S = 2 * sqrt(a*b*c*(1-cosC))，同时利用余弦定理 c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC，可以求解出 c 的值。
12. **数列的分组求和** - 数列 {2n+1} 按照一定的规律分组，求第 100 个括号内的数之和，需要分析分组模式，找出每组数的规律，并计算第 100 个括号内包含的项数及项的和。
13. **命题的否定和否命题** - 命题“若 a，b 都是偶数，则 a+b 是偶数”的否命题是“若 a，b 不都是偶数，则 a+b 不是偶数”。
14. **等差数列的性质** - 已知两等差数列 {an} 和 {bn} 的前 n 项和的比值，可以推导出它们的通项之间的关系，并求解所求的比值。
15. **二次方程根的分布** - 由于方程 x^2 - 2kx - 3k = 0 有一根大于 1，一根小于 -1，可以使用判别式和根与系数的关系来确定 k 的取值范围。
16. **几何不等式** - 定义 f(M) = (m, n, p)，其中 m, n, p 分别是三角形 MBC, MCA, MAB 的面积，求 f(M) 的最小值，需要应用平面几何中的不等式，如海伦公式和三角形的面积公式。
17. **等比数列的性质** - 已知等比数列 {an} 的前 n 项和 Sn，由 S1, S3, S2 成等差数列，可以推导出公比 q 的值。
18. **多元函数的最值** - 分别求 z = xy/x + y 和 z = x^2 + y^2 + 6x + 4y - 2xy + 13 的最值，这涉及到多元函数的极值问题，需要利用偏导数和多元函数的最值条件。
19. **解三角形问题** - 已知三角形 ABC 的外接圆半径，向量 和 ，以及角 C，求三角形面积的最大值和三角形的形状。这需要用到正弦定理和余弦定理。
20. **函数的定义域与最值** - 求函数 y 的定义域及最小值，需要考虑指数函数和对数函数的性质。同时解不等式 x^2 - xa - 2a - 2 < 0，这涉及到一元二次不等式的解法。
21. **一元二次不等式的解集** - 对于关于 x 的不等式 x^2 - (a^2 + 3a + 2)x + 3a(a^2 + 2) < 0，需要解出它的解集，并考虑 a 的取值范围，确定解集长度的最大值。
22. **等比数列的通项与前 n 项和** - 已知等比数列 {an} 的前 n 项和公式，求通项公式。同时构造数列 {bn}，比较 3 - 16Tn 与 4(n + 1)bn + 1 的大小，需要分析数列 {bn} 的性质。
以上是对题目涉及的各个知识点的详细解释，涵盖了等差数列、等比数列、三角形的性质、不等式解法、函数最值、线性规划、数列分组求和、命题逻辑、二次方程、几何不等式、多元函数、解三角形问题等多个方面。
