矩阵论(南京航空航天大学)-科学出版社

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矩阵沦为在校全日制硕士生的公共基础课程,此版本答案很全
(3)实数域R上次数等于n(n≥21)的多项式全体,对多项式的加法和数量乘法。 (4全体实数对{(ab)be},对于如下定义的加法和数量乘法“。 (,)⊕(a2,h2)=(1+a2,b+b1+a2) ko(q,bi)=(ka,kb,+ k(k a1) (5)设R表示全体正实数,加法的和数量乘法。定义为 ④b=ab kaa=a 其中a,b∈R*,k∈ 〖解答 (1)均构成线性空间。 任取A,B∈R",k,∈R。 若A,B为实对称矩阵,则 (kA+lB)=kA+1B=kA+B 即kA+DB为实对称矩阵。 若A,B为反对称矩阵;则 (hA+lB)=kA+lB=-kA-LB=-(kA 即kA+1B为反对称矩阵。 因此,全体n阶实(反)对称按照矩阵的加法和数量乘法均封闭,它们是全体 n阶实对称矩阵金体按照加法和数量乘法所构成的线性空间的一个子集,因出 也按照矩阵的加法和数量乘法构成了线性空间。 (2)不构成线性空间,因为该集合对向量的加法和数乘都不封闭 (3)不构成线性空间,因为该集合对多项式的加法和数乘都不封闭。 (4)构成线性空间 封闭性显然。只需要验证满足线性空间八条性质即可.为此,任取 (a1,)(a2,2)(a3b3)∈R,h,k2∈R ①加法交换律 (a,4)e(a2b2)=(吗1+a,h+b2+41吗2) ,b)(马, +a,b2+h+a24 因此 b)(a2)=(, ⊕(a1b) ②加法结合律 (,)B(b)(a)=(+a2,b+b+2)(2) =(+42+43+b2+2+b+(+a2)a2) =(a1+a1+,b+b2+b十吗+a13+a242) (1,)⊕(a2b2)(=(a1)(a2+,b2+b+a23) =(+a2+a3,b1+b2++a24+1(2+a3) a.,+a,b+b,+63+a 2+a, 3+ 因此 (41,b)(a2b2)(a3b3)=(a,)曲(a2b2)(a3,b3) ③加法零元 (a1,b)e(0,0)=(41+0,+0+a10)=(a12b1 因此,有加法零元(0,0)。 ④加法负 )田(=a32-b)=0,0) 因此,(a1,0)有加法负元(-a,2-b1) ⑤,⑥数乘分配律 +)(4)=(+),(+)+(+)(+与 2 +与一+2一2+2 +.+点+点(-2+ +kkay) (a,k+(气 0(k241,k2 k2(k2 16)0 2 k2o(a,,b,)) 因此 1+k2)(吗,h1)=(k(a1b)(2(41,b1) k°(a,)曲(a22)=k1(q1+a2+b2+2) (q1+k2,k十k2+吗 k(-D) a+a2)) =(④1+k码,+2+2+61-Da+点12+k(-a2) k (h,,+k,a,K,6,+k,b,+ (-1)2(-D) 41 a+k141a2) CAn K6 L, (E1 )⊕(ka2,b2 k(1-1) (k°(a,)(k(2,2) 因此 k:o(a12b)(a2b2)=(k°(a1b)(k ) ⑦数乘结合律 (k2)(,b)=(kk(12kkh kk2(k-1) k2°(a1,b)=(k2q1,k2b1 k2(k2-1) 2 a1 k。(2(4)=联,+气位一可+气一 =(kk241,kk1+ (2-1)n2,(-1)2n2 ,k互+(二 因此, kk2)(a,)=k(k2(a1,b1) (1-1) 8 io(aub)=(a,,b1 2 因此,{(b)b∈对于加法⊕和数量乘法“”构成了线性空间 (5)封闭性显然。只需要验证验证满足线性空间八条性质即可。为此,任取 a,b,c∈R,k,k2∈R ①加法交换徫 eb=ab=ba=bea ②加法结合律 (a田b)c=(ab)c=abe=a(bc)=a⊕(bc) ③加法零 ael 因此,1为加法零元 ④加法负元 a 因此,1为a的加法负元 ⑤,⑥效乘分配律 k1+k2) =dd (k1a)曲(k2°a) ⑦数乘结合律 k1°(k2oa)=(a3) k与 (kk2) ⑧1。a=a=a 因此,R关于加法G和数乘c构成了线性空间。 7设是数域P上的线性空间,证明: (1)F中零元素是唯一的; (2)Cc=0,k0=0,(1)a 如是k=0,那么k=0或者a=0 (4)k(a-B)=ka-kB 解答 (1)假设y中有两个不同的零元素0,02。02为零元素,因此,01=01+02;01为 零元素,因此,02=01+02。这样,Q1=02。矛盾!故v中零元素唯 (2)0a+0a=(0+0x=0,因此,0a=0a+(-0a)=0 k0+0=k(0+0)=k0,因此, k0=k0+(-k0)=0 (-1)a+a=(-1)a+lax=(-1+1)a=0x=0,因此,(-1)a=-a (3)若k=0,有kx=0。若k≠0,则a=1a=()=2(Aa)=10=0。因此, k=0或者a=0 (4)(a-6)=k(x+(B)=ka+k(-)=katk(-1))-ka+(-1(kB)=h-kB 8试证:在R22中矩阵 10 a, 22 线性无关。 〖解答】 假设kk,k∈R满足ka1+ha1+k2+k1a1=0,则 k ,+h,ik+k, K+k2+k3 1,,÷2 +k4 0 k+k÷无k+k2+k 也就是 k+k+k4=0 ++ k2+k=0 k2+k,=0 k2+k4 k=(k1+k2++k)一(1+k2+k3)=0=0=0 k2=(k1++k+k)-(k+k+k:)=0-0=0 2=(1÷21+句+)一(+k2+k)=0-0=0 h=(+k++)-(2+k+k)=0-(0+0+0)=0 因此,a1,a2a3,a4线性无关 9设y为数域P上的线性空间,如果V中向量组a1,a12…,a可由向量组 B,A,…,B线性表示,证明:mk(a1,a2…:a)≤ramk(A,B2…月) 〖解答〗 不妨假设a,a,…an和月,月分别为a12,…;和AB2,“的极 大线性无关组,其中,=rmk(,a2…;a),h2=rmk(A,B2…,B)·根据题意 向量组a12;an,可由,B2…A线性表示。由于a1,a2,an线性无关,因此 1x2,即amk(an,a2…a,)rank,B,…,月)至此,结论得证! 10求下列线性空间的维数和一组基: (1)R中全体对称(反对称)矩阵构成的实数域R上的线性空间 (2)第6题(5中的线性空间R+。 解答】 (1)在取R中实对称矩阵A=()mn,其中,1=/=12…,n。则 11 12 13 100…0 000 12 0 000 A 0+…+an000 000 000 010 0 00 0 00 00 000 n+∑∑(En+En) 000 00 其中,E表示()位置为1,其余元素为0的矩阵。若A=0,则显然有a=0 2,…,n,=+1…,n。因此 E1 +E21…E1,+E 线性无关。 这样,R”中全体实对称矩阵构成的线性空间维数为 n+(-1)+…+2+ (n+1) 组基为 2 3 E m3-12 +E2…E21,+E 任取R中反对称矩阵A=中,a1=04=-am=12…,n。则 a 0 00 12 100 00 00 A 13 23 0 000…0+…+a 0 00 000 ∑∑4(E1-E) 若A=0,则显然有an=0,i=1,2;…,”,j=}+1,…,n。因此, 12 21:2n-1 线性无关 这样,Rm中全体反对称矩阵构成的线性空间维数为 n-1+(-2)+…+2+1=m(n-1) 一组基为 1 ErmL (2)任取一个a∈R且a≠1,则对任意b∈R,总有b=a,=(ognb)a.因此 线性空间R的维数为1,任何不等于1的正数均可作为R的一组基 1].在R中,求向量a=(1,2,1,1)在基 a1=(1,1),a2=(1-1-1),a3=(,-1 1),a4=(1,-1-1,1)7 下的坐标。 下 解咎】(可 仙代知A 11)政知购,AA=A=E以 到而等该是千 令A=(1,a2,/11-1.-1 22 21-2 ,划9星内士 打到元和手 2222 A不茎函改 A2: 2 ry 2 易见A为对称正交矩阵。求解线性方程组Ax=a,容易得到 A Aa 怎样 二2 这样,向量a在基a12,x32C4下的坐标为 2在R2中,求矩阵A 在基 10 下的坐标 解答】知可 设矩阵A在基a1,a2,24下的坐标为x= 2 20 +℃ tx 10 x +x2+ 这样 Ry tx +2 2+x2+x +x2+x=2 X1+x+ 0 求解,得到 x=(x+ 5+巧+x)一(x+x2+x)=1-2 与+)一(x+x+x)=1 (2)=3 x=(x+ 2+x1)-( x21x4)=1-0= x1=( 2+ 与+x)-(x,+ x1x)=1-(3+ 2

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