### 南京航空航天大学《矩阵论》历年试题分析
#### 一、2005年矩阵论试题解析
**题目一解析：**
1. **特征多项式与特征值：**
对于矩阵
\[
A =
\begin{pmatrix}
2 & 6 & -15 \\
1 & 1 & -5 \\
1 & 2 & -6
\end{pmatrix}
\]
特征多项式定义为
\[
p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det\left(
\begin{pmatrix}
2-\lambda & 6 & -15 \\
1 & 1-\lambda & -5 \\
1 & 2 & -6-\lambda
\end{pmatrix}
\right)
\]
计算得
\[
p(\lambda) = -\lambda^3 + (-2-1-6)\lambda^2 + (2 \cdot -5 - 1 \cdot -15 - 1 \cdot 6)\lambda + (2 \cdot -6 \cdot -6 - 1 \cdot -15 \cdot 2 - 6 \cdot 1 \cdot -5) = -\lambda^3 - 9\lambda^2 + 3\lambda + 90
\]
解该三次方程得到A的所有特征值。
2. **行列式、不变因子与初等因子：**
- **行列式**：由特征多项式的常数项可以直接得出，即
\[
\det(A) = 90
\]
- **不变因子**：矩阵的行列式因子即为不变因子，本例中只有一个不变因子，即
\[
d_1(\lambda) = \det(A) = 90
\]
- **初等因子**：特征多项式分解后得到的不可约因子，即
\[
f_1(\lambda) = -\lambda^3 - 9\lambda^2 + 3\lambda + 90
\]
3. **最小多项式：**
最小多项式是所有可以被矩阵零化的多项式中的首一多项式，由于特征多项式已经被证明是可约的，最小多项式可能与特征多项式相同或不同。在此例中，由于我们已经找到了特征多项式，可以通过进一步分析确定最小多项式。
4. **Jordan标准形：**
通过求解每个特征值对应的Jordan块来确定Jordan标准形。具体来说，对于每一个特征值λ，我们需要找出它的几何重数和代数重数，然后构造相应的Jordan块。
**题目二解析：**
1. **求解**
\[
A =
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
- **矩阵范数**：根据定义，矩阵范数可以表示为最大行元素绝对值之和。
\[
\|A\|_{\infty} = \max\{|2+1+0|, |1+2+1|, |0+1+2|\} = 4
\]
- **矩阵元素绝对值的最大值**：对于任意的矩阵\(A\)，其元素绝对值的最大值表示为
\[
\max_{i,j}|a_{ij}| = \max\{2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2\} = 2
\]
因此，有
\[
\max_{i,j}|a_{ij}| \leq \|A\|_{\infty}
\]
**题目三解析：**
1. **满秩分解与广义逆矩阵**
对于矩阵
\[
A =
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\]
- **满秩分解**：通过计算矩阵的秩，找到一个矩阵\(U\)和\(V\)，使得\(A = UV\)，其中\(U\)是列满秩矩阵，\(V\)是行满秩矩阵。
- **广义逆矩阵\(A^+\)**：通过求解满秩分解，可以得到矩阵\(A\)的Moore-Penrose广义逆矩阵\(A^+\)。
2. **线性方程组的相容性及解**
给定方程组
\[
\begin{cases}
x_1 - x_2 + x_3 = 1 \\
-x_1 + x_2 + x_3 = -1 \\
-x_1 + x_2 - x_3 = 1
\end{cases}
\]
通过计算\(A\)的秩以及增广矩阵的秩，可以判断方程组是否有解。如果两个秩相同，则方程组相容，否则不相容。若有解，则可通过广义逆矩阵求解最小二乘解。
#### 二、2004年矩阵论试题解析
**题目一解析：**
1. **求解**
\[
A =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 2i \\
5 & -i & -i
\end{pmatrix}
\]
- **矩阵范数**：根据定义，矩阵范数可以表示为最大行元素绝对值之和。
\[
\|A\|_{\infty} = \max\{|1+0+0|, |1+2+2|, |5+1+1|\} = 7
\]
- **矩阵元素绝对值的最大值**：对于任意的矩阵\(A\)，其元素绝对值的最大值表示为
\[
\max_{i,j}|a_{ij}| = \max\{1, 0, 0, 1, 2, 2, 5, 1, 1\} = 5
\]
因此，有
\[
\max_{i,j}|a_{ij}| \leq \|A\|_{\infty}
\]
- **证明矩阵非负定**：要证明\(A \geq 0\)，需要证明对于所有非零向量\(x\)，都有\(x^*Ax \geq 0\)。通过计算可以验证这一点。
2. **证明**
- 对于\(n\)阶Hermite矩阵\(B\)，若
\[
B = \alpha H + \beta H^*
\]
其中\(H\)是Hermitian矩阵，\(H^*\)是\(H\)的共轭转置，则
\[
\|B\|_F^2 = \alpha^2\|H\|_F^2 + \beta^2\|H\|_F^2 = (\alpha^2 + \beta^2)\|H\|_F^2
\]
这里\(\|H\|_F\)表示矩阵\(H\)的Frobenius范数。
**题目二解析：**
1. **满秩分解与广义逆矩阵**
对于矩阵
\[
A =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]
- **满秩分解**：通过计算矩阵的秩，找到一个矩阵\(U\)和\(V\)，使得\(A = UV\)，其中\(U\)是列满秩矩阵，\(V\)是行满秩矩阵。
- **广义逆矩阵\(A^+\)**：通过求解满秩分解，可以得到矩阵\(A\)的Moore-Penrose广义逆矩阵\(A^+\)。
2. **线性方程组的相容性及解**
给定方程组
\[
Ax = b
\]
其中
\[
b =
\begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
4
\end{pmatrix}
\]
通过计算\(A\)的秩以及增广矩阵的秩，可以判断方程组是否有解。如果两个秩相同，则方程组相容，否则不相容。若有解，则可通过广义逆矩阵求解最小二乘解。
#### 三、2003年矩阵论试题解析
**题目一解析：**
1. **线性空间\([R^n[x]]\)的维数与基**
- **维数**：\([R^n[x]]\)的维数为\(n\)。
- **基**：一组基可以表示为
\[
\{1, x, x^2, \ldots, x^{n-1}\}
\]
2. **线性变换\(D\)的矩阵表示**
定义线性变换\(D(f(x)) = f'(x)\)，在基\(\{1, x, x^2, \ldots, x^{n-1}\}\)下的矩阵表示为
\[
D =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix}
\]
- **核与像**：\(Ker(D)\)表示所有\(f(x)\)使得\(f'(x) = 0\)，即常数函数；\(R(D)\)表示所有一次多项式。
3. **证明\(D\)的矩阵不可能是对角矩阵**
由于\(D\)的作用是求导，而求导操作不是保持幂次不变的操作，因此\(D\)的矩阵形式不可能是对角矩阵。
4. **内积空间中的线性变换**
在\([R^n[x]]\)中定义内积
\[
\langle f, g \rangle = \int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx
\]
通过计算特定多项式的内积，可以进一步探讨该空间中的线性变换特性。
