大连理工大学2020年现代控制理论期末考试真题

根据提供的文件内容，这是一份大连理工大学2020年现代控制理论期末考试的真题，试卷涵盖闭卷考试、控制科学与工程学院等相关信息。以下是从文件内容中提取的知识点。 知识点一：线性定常连续系统的能控性定义 能控性是现代控制理论中的一个基本概念，指的是系统是否可以通过控制输入来转移到任意状态。线性定常连续系统的能控性定义通常涉及状态空间表示，即系统的动态由一组线性微分方程描述。具体来说，系统由状态方程x'(t)=Ax(t)+Bu(t)描述，其中x(t)是状态向量，u(t)是输入向量，A和B是系统矩阵。如果对于任意的初始状态x(0)和任意的最终状态x(f)，都存在一个有限时间区间内的控制输入u(t)，使得系统状态从x(0)转移到x(f)，则称该系统是能控的。 知识点二：线性连续定常系统的Lyapunov方程 Lyapunov方程是分析系统稳定性的工具，它提供了一种数学方法来判断线性系统的稳定性。对于线性定常系统而言，Lyapunov方程可以表示为P*A+A'*P=-Q的形式，其中A是系统矩阵，P和Q是半正定矩阵，Q通常是权重矩阵，用于衡量状态的不同分量的重要性。如果存在一个正定矩阵P满足该方程，那么系统矩阵A具有负实部的特征值，从而保证了系统的渐近稳定性。 知识点三：系统能控性和能镇定性的关系 系统的能控性和能镇定性是两个不同的概念，但它们之间存在紧密的联系。能镇定性意味着存在状态反馈使得闭环系统稳定。一个系统能控并不一定意味着能镇定，但是一个系统如果既能控又能镇定，则一定可以找到合适的状态反馈控制器来稳定系统。简而言之，能控性关注系统是否可以被任意转移，而能镇定性关注系统是否可以在不稳定或临界稳定的情况下通过反馈达到稳定。 知识点四：系统的传递函数和状态空间描述 传递函数是拉普拉斯变换域中描述线性时不变系统输入-输出关系的数学模型，常用于频域分析。对于线性定常系统x'(t)=Ax(t)+Bu(t)，y(t)=Cx(t)+Du(t)，其传递函数G(s)通常表示为输出Y(s)与输入U(s)的比值，即G(s)=C(sI-A)^-1B+D。状态空间描述则是时域内的表示方法，可以直接描述系统的动态行为和状态变化。 知识点五：状态方程的求解 对于给定的状态方程，如31100()010()1()0024txtutx1(0)21x()ut，求解状态方程的过程包括利用初始条件和输入信号来找到系统状态的解。在单位阶跃输入下，需要对系统矩阵和控制矩阵进行运算，通过数值方法或者解析方法得到状态变量的时间响应。 知识点六：状态空间表达式的变换 对于一个能控的n阶系统，状态空间表达式x'=Ax+Bu，y=Cx+Du可以通过某种特定的线性变换矩阵P将系统变换为能控标准形，从而使系统的结构简化。变换后的状态空间描述为x'=Px'=PAP^-1x+PBu，y=Cx。其中，P^-1x是变换后的状态向量，矩阵P的作用是将原系统的状态空间坐标变换到新的坐标系下，使得新系统在新的坐标下表现为能控标准形。 知识点七：离散系统的平衡状态渐近稳定性 对于线性定常离散系统，平衡状态渐近稳定是指当时间趋于无穷时，系统状态会趋于零。判定线性定常离散系统平衡状态渐近稳定的充要条件是系统矩阵的所有特征值都位于单位圆内，即特征值的模都小于1。此外，利用Lyapunov方法可以构建Lyapunov函数来分析和证明系统的稳定性。 知识点八：状态反馈和状态观测器的设计 状态反馈设计是通过反馈状态变量来改变系统的动态行为，使得闭环系统的极点位于期望的位置，从而改善系统的性能，例如达到快速响应或更高的稳定性。状态观测器的设计则是用于估计系统的内部状态，当状态不可直接测量时，观测器可以提供状态的估计值。设计观测器时，通常需要保证观测器动态的特征值具有负实部，以保证观测误差的指数衰减。 这份考试真题覆盖了现代控制理论的多个核心知识点，包括系统能控性、Lyapunov稳定性分析、状态空间表达式、传递函数、离散系统的稳定性、状态反馈及状态观测器设计等。掌握这些知识点对于学习和应用现代控制理论至关重要。