数学专业考研复试资料：实变函数与泛函分析要点
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2022-02-17
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实变函数与泛函分析知识点概要
第一章 集合 基本要求：
1、 理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。
2、 掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。
3、 会求已知集合的并、交、差、余集。
4、 了解对等的概念及性质。
5、 掌握可数集合的概念和性质。
6、 会判断己知集合是否是可数集。
7、 理解基数、不可数集合、连续基数的概念。
8、了解半序集和 Zorn 引理。
第二章 点集 基本要求：
1、 理解 n 维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。
2、 掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性
质。
3、 掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。
4、 会求己知集合的开集和导集。
5、 掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。
6、 会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。
7、 了解 Peano 曲线概念。
主要知识点：一、基本结论：
1、聚点性质§2 中 T1 聚点原则：
P0 是 E 的聚点 P0 的任一邻域内，至少含有一个属于 E 而异于 P0 的点
存在 E 中互异的点列{Pn}，使 Pn →P0 （n→∞）
2、开集、导集、闭集的性质§2 中 T2、T3
T2：设 A⊂B，则 A⊂B，
Com
b i n
⊂
Com
b i n
，
Com
b i n
⊂
Com
b i n
。
T3：（ A∪B）′=A′∪ B′.
3、开（闭）集性质（§3 中 T1、2、3、4、5）
T1：对任何 E⊂Rⁿ，Ė 是开集，E´和
Com
bin
都是闭集。（Ė 称为开核，
Com
bin
称为闭包
的理由也在于此）
T2：（开集与闭集的对偶性）设 E 是开集，则 CE 是闭集；设 E 是闭集，则
CE 是开集。
T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。
T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。
T5：（ Heine-Borel 有限覆盖定理）设 F 是一个有界闭集，ℳ 是一开集
族{Ui}iєI 它覆盖了 F（即 Fс
Com
b i n
Ui），则 ℳ 中一定存在有限多个开集
U1，U2…Um，它们同样覆盖了 F（即 F⊂
Com
b i n
Ui）（ iєI）
4、开（闭）集类、完备集类。
开集类：Rⁿ，Φ，开区间，邻域、Ė、Pо
闭集类：Rⁿ，Φ，闭区间，有限集，E΄、E、P
完备集类：Rⁿ，Φ，闭区间、P
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