"五大常用算法之二：动态规划算法"
动态规划算法是五大常用算法之一，属于多阶段决策问题的解决方法。该算法的核心思想是将问题分解为多个阶段，每个阶段都有其对应的状态和决策，以便通过决策序列来达成最优解。
动态规划算法的基本概念是指每次决策依赖于当前状态，并随即引起状态的转移。这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
动态规划算法的基本思想与策略是将待求解的问题分解为多个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一个子问题的解，为后一个子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一个子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。
由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。
动态规划算法适用于具有以下三个性质的问题：
1. 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。
2. 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后的决策的影响。
3. 有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一个阶段决策中可能被多次使用到。
动态规划算法的基本步骤是：
1. 划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。
2. 确定状态和状态变量：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。
3. 确定决策并写出状态转移方程：因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一个阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。
4. 寻找边界条件：给出的状态转移方程是递推式，需要一个递推的终止条件或边界条件。
动态规划算法的实现主要难点在于理论上的设计，一旦设计完成，实现部分就会非常简单。使用动态规划解决问题，最重要的就是确定动态规划三要素：问题的阶段、每个阶段的状态、从前一个阶段转化到后一个阶段之间的递推关系。
确定了动态规划的这三要素，整个求解过程就可以用一个最优决策表来描述，最优决策表是一个二维表，其中行表示决策的阶段，列表示问题状态，表格需要填写的数据一般对应此问题的在某个阶段某个状态下的最优值。
动态规划算法的基本框架是：
1. for (j = 1; j <= m; j = j + 1) // 第一个阶段
2. xn[j] = 初始值;
3.
4. for (i = n - 1; i >= 1; i--) {
5. // 计算状态转移方程
6. }
动态规划算法的优点是可以解决具有最优子结构的问题，避免了重复计算，提高了算法的效率。但是，动态规划算法也存在一些缺点，如需要大量的计算和存储空间，对于某些问题可能不适用。
动态规划算法是一种非常有用的算法，对于解决多阶段决策问题非常有效。该算法可以应用于各种领域，如操作研究、计算机科学、经济学等领域，对于解决复杂问题具有很高的价值。
