第 3 章 边值问题的解法
3.1 边值问题的提法
所谓边值问题,就是在给定边界条件下如何求解电场或
电位函数所满足的方程。就边界条件而言,不同的问题有不同
的给定方式,通常可以分为三类;而要求解的方程对于静电场
或恒定电场问题通常是电位函数满足的方程。因此下面首先来
讨论边界条件的分类和电位函数应满足的方程。
3.1.1 边值问题的分类
实际问题总是有边界的。所有的边值问题可以归结为以
下三类:
(1) 已知场域边界面 S 上各点电位的值,即给定
)(
1
Sf
S
(3-1-1)
称为第一类边界条件或狄利克利条件。这类问题称为第一类边值
问题。
第 3 章 边值问题的解法
(2) 已知场域边界面 S 上各点电位法向导数的值,即给定
)(
2
SfS
n
(3-1-2)
称为第二类边界条件或诺伊曼条件。这类问题称为第二类边值
问题。
(3) 已知场域边界面 S 上各点电位和电位法向导数的线性
组合值,即给定
)()(
3
SfS
n
(3-1-3)
称为第三类边界条件或混合边界条件。这类问题称为第三类边
值问题。
第 3 章 边值问题的解法
如果边界面 S 是导体,则上述三类问题分别变为:已知
各导体表面的电位;已知各导体的总电量;已知一部分导体电
位和另一部分导体的电荷量。
如果场域伸展到无限远处,必须提出所谓无限远处的边
界条件。对于电荷分布在有限区域的情况,则在无限远处电位
为有限值,即
式 (3-1-4) 称为自然边界条件。
必须指出,如果给定边界上的电位,则该给定边界上的
法向导数也就确定。因为在任意边界上,它的电位和它上面的
电荷密度是相互制约的,若给定了边界上的电位后,电位的法
向导数就不能再任意给定了,反之亦然。
有限值lim
r
r
(3-1-4)