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极限运算法则07903PPT课件.pptx
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定理2 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小。
证明:
g(x)
有界,故存在
M
>
0,使
M
x
f
)
(
0
)
(
l
i
m
,
0
0
x
f
x
x
对于
0
,
1
0
M
.
)
(
,
0
1
0
M
x
f
x
x
有
当
故当
0
)
(
)
(
,
0
1
0
x
g
x
f
x
x
有
设
g(
x
)
在某定义域内有界,
存在,
)
(
l
i
m
x
f
.
0
)
(
)
(
l
i
m
x
g
x
f
则
M
M
x
g
x
f
x
g
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
推论
:
(1)常量与无穷小的积仍是无穷小;
(2)有限个无穷小量的积仍是无穷小。
第
1
页
/
共
22
页
o
y
x
例
1
.
求
.
si
n
l
i
m
x
x
x
解
:
1
si
n
x
0
1
l
i
m
x
x
利用定理
2
可知
.
0
si
n
l
i
m
x
x
x
x
x
y
sin
说明
:
y
=
0
是
x
x
y
si
n
如:
0
1
arc
t
an
l
i
m
0
x
x
x
0
1
cos
l
i
m
0
x
x
x
0
si
n
1
l
i
m
s
i
n
l
i
m
x
x
x
x
x
x
的一条水平渐近
线
第
2
页
/
共
22
页
二
、
极
限
的
四
则
运
算
法
则
,
)
(
li
m
,
)
(
l
im
B
x
g
A
x
f
则有
)]
(
)
(
li
m
[
x
g
x
f
)
(
li
m
)
(
li
m
x
g
x
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证
:
因
,
)
(
li
m
,
)
(
l
im
B
x
g
A
x
f
则有
B
x
g
A
x
f
)
(
,
)
(
(
其中
,
为无穷小
)
于是
)
(
)
(
)
(
)
(
B
A
x
g
x
f
)
(
)
(
B
A
由定理
1
可知
也是无穷小
,
再利用极限与无穷小
B
A
的关系定理
,
知定理结论成立
.
定理
3
.
若
第
3
页
/
共
22
页
推
论
:
若
,
)
(
lim
,
)
(
lim
B
x
g
A
x
f
且
),
(
)
(
x
g
x
f
则
.
B
A
( P45
定理
5 )
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
利用保号性定理证明
.
说明
:
定理
3
可推广到有限个函数相加、减的情形
.
提示
:
令
第
4
页
/
共
22
页
定
理
4
.
若
,
)
(
li
m
,
)
(
lim
B
x
g
A
x
f
则有
)]
(
)
(
lim
[
x
g
x
f
)
(
lim
)
(
li
m
x
g
x
f
提示
:
利用极限与无穷小关系定理及本节定理
2
证明
.
说明
:
定理
4
可推广到有限个函数相乘的情形
.
推论
1 .
)
(
l
im
)]
(
lim
[
x
f
C
x
f
C
(
C
为常数
)
推论
2 .
n
n
x
f
x
f
]
)
(
li
m
[
)
]
(
li
m
[
(
n
为正整数
)
例
2.
设
n
次多项式
,
)
(
1
0
n
n
n
x
a
x
a
a
x
P
试证
).
(
)
(
li
m
0
0
x
P
x
P
n
n
x
x
证
:
)
(
lim
0
x
P
n
x
x
0
a
x
a
x
x
0
lim
1
n
x
x
n
x
a
0
lim
)
(
0
x
P
n
B
A
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