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说明
:
无限个
无穷小之和
不一定
是无穷小
!
例如,
n
n
n
n
n
n
2
2
2
1
2
1
1
li
m
1
( P56 ,
题
4 (2) )
解答见课件第二节 例
5
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类似可证
:
有限个
无穷小之和仍为无穷小
.
第
1
页
/
共
21
页
定
理
2
.
有
界
函
数
与
无
穷
小
的
乘
积
是
无
穷
小
.
证
:
设
,
)
,
(
1
0
x
x
M
u
又设
,
0
lim
0
x
x
即
,
0
,
0
2
当
)
,
(
2
0
x
x
时
,
有
M
取
,
,
m
in
2
1
则当
)
,
(
0
x
x
时
,
就有
u
u
M
M
故
,
0
li
m
0
u
x
x
即
u
是
0
x
x
时的无穷小
.
推论
1
.
常数与无穷小的乘积是无穷小
.
推论
2
.
有限个无穷小的乘积是无穷小
.
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第
2
页
/
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21
页
o
y
x
例
1
.
求
.
si
n
l
i
m
x
x
x
解
:
1
si
n
x
0
1
l
i
m
x
x
利用定理
2
可知
.
0
sin
li
m
x
x
x
x
x
y
sin
说明
:
y
= 0
是
x
x
y
sin
的渐近线
.
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21
页
二
、
极
限
的
四
则
运
算
法
则
,
)
(
lim
,
)
(
lim
B
x
g
A
x
f
则有
)]
(
)
(
lim
[
x
g
x
f
)
(
l
im
)
(
l
im
x
g
x
f
证
:
因
,
)
(
l
im
,
)
(
lim
B
x
g
A
x
f
则有
B
x
g
A
x
f
)
(
,
)
(
(
其中
,
为无穷小
)
于是
)
(
)
(
)
(
)
(
B
A
x
g
x
f
)
(
)
(
B
A
由定理
1
可知
也是无穷小
,
再利用极限与无穷小
B
A
的关系定理
,
知定理结论成立
.
定理
3 .
若
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21
页
推
论
:
若
,
)
(
li
m
,
)
(
li
m
B
x
g
A
x
f
且
),
(
)
(
x
g
x
f
则
.
B
A
( P45
定理
5 )
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
利用保号性定理证明
.
说明
:
定理
3
可推广到有限个函数相加、减的情形
.
提示
:
令
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