多元线性回归是一种统计分析方法，用于研究一个因变量如何受到多个自变量的影响。在会计学和其他社会科学领域，这种模型非常常见，因为它能帮助我们理解复杂的因果关系。下面将详细阐述多元线性回归模型的基本概念和假设。
多元线性回归模型的形式通常表示为：
\[ Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_kX_k + \epsilon \]
其中，\( Y \) 是因变量，\( X_1, X_2, ..., X_k \) 是自变量（解释变量），\( \beta_0, \beta_1, ..., \beta_k \) 是回归系数，\( \epsilon \) 是随机误差项。回归系数 \( \beta_j \) 描述了当其他自变量保持不变时，自变量 \( X_j \) 每增加一个单位，因变量 \( Y \) 的期望值变化。
在统计学中，总体回归函数表示在所有自变量条件下因变量的平均值，而样本回归函数则是通过实际数据估计得到的这个关系。在矩阵形式下，模型可以写成：
\[ Y = X\beta + \epsilon \]
其中，\( Y \) 和 \( \epsilon \) 是 \( n \times 1 \) 的向量，\( X \) 是 \( n \times (k+1) \) 的矩阵（包含常数项），\( \beta \) 是 \( (k+1) \times 1 \) 的向量。
在构建多元线性回归模型时，有几个基本假设至关重要：
1. **固定性假设**：自变量 \( X \) 在多次重复抽样中是固定的，不是随机变量。
2. **零均值假设**：随机误差项 \( \epsilon \) 的期望值为零，即 \( E(\epsilon) = 0 \)。
3. **独立性假设**：不同观测之间的随机误差项彼此独立。
4. **同方差性假设**：随机误差项的方差是常数，即 \( Var(\epsilon_i) = \sigma^2 \)，对所有 \( i \) 成立。
5. **正态性假设**：随机误差项 \( \epsilon \) 遵循正态分布。
6. **无多重共线性假设**：自变量之间不存在高度相关性，即 \( X \) 的列是线性无关的，确保 \( X^TX \) 是可逆的。
满足这些假设，我们可以使用普通最小二乘法（OLS）来估计模型的参数 \( \beta \)。OLS 的目标是最小化残差平方和，从而得到最佳线性无偏估计（BLUE）。
在实际应用中，我们通常会通过残差分析、相关性矩阵、方差膨胀因子（VIF）等方法检查这些假设是否成立。如果发现违背某些假设，可能需要采取相应的修正策略，如逐步回归、主成分分析或使用其他回归方法。
多元线性回归模型是研究多个因素与结果之间关系的强大工具，其正确使用需要遵循一系列统计假设，确保模型的可靠性和有效性。在进行数据分析时，理解并检查这些假设对于得出准确的结论至关重要。
VIP享7折，此内容立减5.97元 
