最优化方法及其 Matlab 程序设计
马昌凤
2010 年 3 月 22 日
目 录
第十二章 序列二次规划法 1
12.1 牛顿-拉格朗日法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
12.1.1 牛顿-拉格朗日法的基本理论 . . . . . . . . . . . . . . . 2
12.1.2 牛顿-拉格朗日法的 Matlab 程序 . . . . . . . . . . . . . 6
12.2 SQP 方法的算法模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
12.2.1 基于拉格朗日函数 Hesse 阵的 SQP 方法 . . . . . . . . 12
12.2.2 基于修正 Hesse 阵的 SQP 方法 . . . . . . . . . . . . . 26
12.3 SQP 方法的相关问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
12.3.1 二次规划子问题的 Hesse 阵 . . . . . . . . . . . . . . . 33
ii
第十二章 序列二次规划法
本章考虑求解一般非线性优化问题
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
min 𝑓(𝑥),
s.t. ℎ
𝑖
(𝑥) = 0, 𝑖 ∈ 𝐸 = {1, · · · , 𝑙},
𝑔
𝑖
(𝑥) ≥ 0, 𝑖 ∈ 𝐼 = {1, · · · , 𝑚}
(12.1)
的序列二次规划法 (SQP, Sequential Quadratic Programming). SQP 方法是
求解约束优化问题最有效的算 法之一, 其基本思想是: 在每一迭代步通过
求解一个二次规划子问题来确立一个下降方向, 以减少价值函数来取得
步长, 重复这些步骤直到求得原问题的解. 这也是之所以称为序列二次规
1
第十二章 序列二次规划法 回目录 12.1 牛顿-拉格朗日法
划法的由来. 本章主要介绍 SQP 方法的基本思想、 迭代步骤和收敛性分
析. 首先介绍求解等式约束优化问题的牛顿-拉格朗日法.
12.1 牛顿-拉格朗日法
12.1.1 牛顿-拉格朗日法的基本理论
考虑纯等式约束的优化问题
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
min 𝑓(𝑥),
s.t. ℎ
𝑖
(𝑥) = 0, 𝑖 ∈ 𝐸 = {1, · · · , 𝑙},
(12.2)
其中 𝑓 : R
𝑛
→ R, ℎ
𝑖
: R
𝑛
→ R (𝑖 ∈ 𝐸) 都是二阶连续可微的实函数. 记
ℎ(𝑥) = (ℎ
1
(𝑥), · · · , ℎ
𝑙
(𝑥))
𝑇
, 则不难写出该问题的拉格朗日函数为
𝐿(𝑥, 𝜇) = 𝑓(𝑥) −
𝑙
𝑖=1
𝜇
𝑖
ℎ
𝑖
(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝜇
𝑇
ℎ(𝑥),
· 2 ·
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