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第1章 M AT L A B 是什么
没有M AT L A B就没有乐趣。
Nachtigal, M. N., Reddy, S. C., Trefethen, L.N.(1990)。
不对称矩阵迭代有多快?
关于迭代方法的Copper Mountain会议论文集,
Copper Mountain CO, 1-5,1990年4月。
1.1 MAT L A B能做什么
M AT L A B 是一个可视化的计算程序,被广泛地使用于从个人计算机到超级计算机范围内
的各种计算机上。
M AT L A B包括命令控制、可编程,有上百个预先定义好的命令和函数。这些函数能通过
用户自定义函数进一步扩展。
M AT L A B 有许多强有力的命令。例如, M AT L A B 能够用一个单一的命令求解线性系统,
能完成大量的高级矩阵处理。
M AT L A B有强有力的二维、三维图形工具。
M AT L A B能与其他程序一起使用。例如, M AT L A B的图形功能,可以在一个 F O RT R A N
程序中完成可视化计算。
2 5 个不同的M AT L A B工具箱可应用于特殊的应用领域。
M AT L A B在以下的领域里解决各种问题是一个十分有效的工具:
• 工业研究与开发。
• 数学教学,特别是线性代数。所有基本概念都能涉及。
• 在数值分析和科学计算方面的教学与研究。能够详细地研究和比较各种算法。
• 在诸如电子学、控制理论和物理学等工程和科学学科方面的教学与研究。
• 在诸如经济学、化学和生物学等有计算问题的所有其他领域中的教学与研究。
• 在M AT L A B中创建的组是矩阵,M AT L A B的名字取自矩阵实验室( M ATrix LABoratory)。
1.2 MAT L A B 实例
本节中的实例恰当而简洁地展示了 M AT L A B 能做什么。在一些实例中给出了完整的
M AT L A B 命令;而在另一些实例中,为简化仅给出部分命令。
在本书中出现的 M AT L A B 代码用的是一种特殊的字体以区别于书中别的文字。
M AT L A B 的输出是斜体字,即:我们输给 M AT L A B 的命令是正体; M AT L A B 给出的输出答
案是斜体。
百分符号%在M AT L A B中用做注释符号,在本书中全部都是这样使用。采用的其他表示
方法是:数量和预定义函数用斜体字,矩阵、向量和用户自定义函数用黑体字。矩阵用大写
字母开头命名,而向量以小写字母开头。细胞矩阵是如同矩阵或向量的概念,也采用黑体字,
其结构和对象也是如此。在命令表中,用斜体字表示那些可选的函数参数。例如,
c o m m a n d (parl, p a r 2 ),参数p a r 1 总是需要的,而p a r2 是可选的。
■ 例1.1 二维和三维函数
M AT L A B 能用于计算,并以二维和三维图形显示各种函数。在 M AT L A B 函数中包括了所
有主要的数学函数和大量的高级函数。
(a) 用简短的M AT L A B命令计算并绘制在0≤x≤6范围内的s i n ( 2 x)、s i nx
2
和s i n
2
x。
x = l i n s p a c e ( 0 , 6 ) ; % 创建一个向量 x。
y 1 = s i n ( 2
*
x ) ; % 向量y 1 等于x坐标上某一x的s i n ( 2 x )值。
y 2 = s i n ( x . ^ 2 ) ; % 向量y 2 等于s i n ( x . ^ 2 ),同上。
y 3 = ( s i n ( x ) ) . ^ 2 ; % 向量y 3 等于( s i n ( x ) ) . ^ 2,同上。
命令p l o t ( x , y 1 )绘制向量y 1 ,y 1 作为向量x的一个函数,p l o t 命令的定义可参见第 1 3
章。由此能够很容易地在一个图上绘制 s i n ( 2x)、s i n (x
2
)和s i n
2
x的曲线并正确地标记它们(图1 - 1 ) 。
图1-1 同一图上的三条曲线
(b) 两个变量的函数需要用三维来恰当地图示,M AT L A B能够给出很好的三维图。在图1 - 2 中,用
四个不同的方法展示了函数f(x, y) = cos (x)·sin (y)的图形:左上图用s u r f 命令和shading interp ;右
上图用m e s h ;左下图用w a t e r f a l l 以及右下图用c o n t o u r 。关于图像命令的详细信息可参见第1 3 章。
图1-2 四种方法绘制双变量的一个函数的图形
2 M ATLAB 5 手册
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用surf和shading interp绘图 用mesh绘图
用mesh和隐藏线绘图
用contour绘图
(c) MAT L A B也能绘制一条参数曲线,例如:
x-y平面图如图1 - 3所示。
图1-3 一个参数曲线图
■ 例1.2 函数分析
M AT L A B命令f z e r o 和f m i n 可以用于寻找一个函数的零点和最小值。
函数 可以用名叫 f u n c的用户自定义函数 (见2 . 9 节)表示,并存入一个名叫
f u n c . m的M文件中。这个文件由下列行组成:
如果这个M文件被存放在当前的工作目录中,或在一个称为 m a t l a b的子目录中,函数f u n c
就可以像预定义的M AT L A B函数一样调用。例如,调用x i s z e r o = f u n c ( 0 ),给出的答案是:
xiszero =
-1
用这样定义的函数,M AT L A B提供了一个命令来寻找方程 x e
x2
-
e
x2
-
s i nx
3
= 0 的零点。命令
x s o l v = f z e r o (‘f u n c ’, 3)给出:
xsolv =
1 . 2 1 9 4
在本例中,命令中的第2个自变量用的是3,是开始计算的一个初始近似值。
如果在-1≤x≤1 . 5 区间内绘制这个函数,则正确答案如图 1 - 4 所示。
图1-4 在-1≤x≤1 . 5区间内绘制函数xe
x
2
-e
x
2
-sinx
3
的
图形
xe
x
2
−e
x
2
−sin x
3
第1章 M AT L A B是什么 3
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■
当x在0 . 5和1之间时,这个函数看起来有一个极小值,为正确找出这个极小值,用命令
m p o i n t = f m i n ( ‘f u n c ’, 0.5, 1),其结果为:
mpoint =
0 . 8 9 5 4
用于检查M AT L A B 中用户自定义函数的命令可参见第 1 0章和第11章。
■ 例1.3 线性系统与特征值
(a) MAT L A B可以用一个简单的命令行求解线性系统,系数矩阵 A和右侧b定义如下:
这对应于线性系统A x = b ,如下所示:
这可由如下命令求解:
x = A \ b
其结果为:
(b) 还有许多矩阵控制命令。例如,例 ( a )中矩阵A的特征值很容易地可以由下列命令得到:
其给出:
矩阵E i g e n Ve c t o r s的列是A的特征向量,E i g e n Va l u e s中对角线元素是特征值。由于矩阵 A
是对称的,因此,所有的特征值都是实数,三个特征向量是相互正交的。
M AT L A B中的基本概念是矩阵。基本的矩阵命令在第 3章描述,更多的命令将在第 4、7、
8、9章中描述。
■ 例1.4 曲线拟合与插值
(a) 如果有两个向量x和y表示的x-y平面上的一组点,那么,可以对它们进行插值点或者拟
合一条曲线。令
4 M ATLAB 5 手册
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■
■
对应x-y平面上的9个点。首先,展示以最小二乘法拟合数据的线性函数,这个可以通过
M AT L A B 中的三个简单的命令来实现:
p1=polyfit(x, y, 1) % p1=A向量等于一次多项式的系数。
linc=polyval(p1, x) % linc=A向量等于x点上多项式p 1 的值。
plot(x, linc,x, y,‘x’) % 绘制多项式和由‘x’标记的数据。
结果见图1 - 5 (左图)。
能以最小二乘法对一组点拟合高次多项式。对上面的命令行进行一点小改动就可以得到 7
次多项式:
p7=polyfit(x, y, 7); % p7=A向量等于7次多项式的系数。
x x = 1 : 0 . 2 5 : 8 ; % xx=所有想要进行多项式计算的点。
polc=polyval(p7, xx); % polc=A向量等于点x x 上多项式p 7的值。
plot=(xx,polc, x, y,’x’) % 绘制多项式和由’x’标记的数据。
其结果如图1 - 5 (右图)所示。
图1-5 x-y平面上对一组具有9个点的数据拟合的1次和7次多项式
(b) MAT L A B提供了二维和三维的内插函数。给定一组点 (x
i
,y
i
)和一些内插点x˜
i
,M AT L A B
能返回通过对这些数据内插的插入点的值,这可以有不同的方法实现。作为一个例子,将使
用( a )中的一组点来给出在下列点中插入的值:
图1-6 piecewise 线性函数插值 (左)和三次样条插值(右)
第1章 M AT L A B是什么 5
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线性插值
三次样条插值
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