马氏链例题讲解.doc
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2020-05-17
16:48:02
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1、每天早上张三都要出门跑步，张三的家有前后两个门，门口都有一些鞋，两个门口鞋
的数目之和为 。张三出门时，如果门口有鞋时则穿上，如果没有，就只好光脚跑了；
跑步回来进门时，如果穿着鞋，则将鞋脱下放在门口。假定张三出门时选择前后门的
概率相同，回家时也同样。试将此情况提炼成一马氏链，并请计算充分长时间以后，
张三出门时不幸要光脚跑步的概率。
2、设商店建立如下的某商品的 存货策略以满足持续不断的需求：假设在时刻 到
间隔内的总需求为 ， 为独立同分布随机变量，且与起始的库
存 也独立。存货的补充在 时刻之后立刻开始进行，采用如下的 补充策略
（其中 ），即如果在 时刻发现库存等于或低于 ，则在 时刻将库存补
充到 ；如果高于 ，则不补充（这里库存取负值是允许的，因为暂时无法满足的需
求可以有立刻的补充给以满足）。试证明库存序列 构成 Markov 链。如
果 ， ， 的 分 布 为 ， 试 写 出
的状态空间以及一步转移概率矩阵，讨论状态性质，计算平稳分布以及
补充库存数的数学期望。
3、某数字通信系统中，由一串 0/1 码按照下列规则编译成 0、1、－1 序列，若输入串某
位置出现 0，则输出串中在该位置也相应为 0；若输入串中某位置出现 1，则在输出串
中同一位置出现 1 或者－1，且规定输出串中 1、－1 交替出现，输出串中第一个出现
1/－1 的位置设为 1。举例来说，如果输入串为 ，那么输出串即为
。如果输入串出现的码为独立同分布的随机变量，且 0、1 出现
的概率相同，则输出串 为 Markov 链，试确定其状态空间以及写出一步
转移概率矩阵 和 步转移概率矩阵 ，并在到达平稳后，求 的期望
和相关函数。
4、设有状态空间为 的 Markov 链，其一步转移概率为
讨论该链的各个状态的性质（正常返、零常返、非常返、周期性），若为正常返，求
其平稳分布。如果一步转移概率为
情况又会是如何？
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