马氏链例题讲解.doc

随机过程中关于马尔科夫链的一些例题，过程很详细； 举例：1、 每天早上张三都要出门跑步，张三的家有前后两个门，门口都有一些鞋，两个门口鞋的数目之和为 。张三出门时，如果门口有鞋时则穿上，如果没有，就只好光脚跑了；跑步回来进门时，如果穿着鞋，则将鞋脱下放在门口。假定张三出门时选择前后门的概率相同，回家时也同样。试将此情况提炼成一马氏链，并请计算充分长时间以后，张三出门时不幸要光脚跑步的概率。 马尔科夫链是一种在随机过程中，未来状态只依赖于当前状态，而与过去的历史状态无关的模型。在这个例子中，我们通过分析张三出门跑步的情况来构建一个马尔科夫链模型。张三家门口有两个门，每个门都有一定数量的鞋子，鞋子总数固定。出门时，如果门口有鞋，张三就会穿上；回来时，无论是否穿鞋都会脱在门口。张三选择前后门的概率相等，回家时也是如此。因此，我们可以将鞋子的数量作为马尔科夫链的状态，每个状态代表张三出门时家门口鞋子的状况。 马尔科夫链的状态空间包括所有可能的鞋子组合，例如，如果家门口总共有4双鞋，那么状态空间就是{0, 1, 2, 3, 4}，分别代表前门0双、1双、2双、3双或4双鞋。一步转移概率矩阵描述了从一个状态到另一个状态的转移概率。在这个例子中，出门时鞋子数量减少1的概率是50%，增加1的概率也是50%（如果张三出门时没有鞋，那么回来时会增加1双；如果出门时有鞋，回来时也会减少1双）。由于所有状态都可以相互到达，这个马尔科夫链是遍历的，存在极限分布。计算充分长时间后，张三出门不幸要光脚跑步的概率，即为状态0的极限分布概率。 第二个问题涉及商店的库存管理策略，库存水平作为马尔科夫链的状态。当库存低于某个阈值时，会补充到目标库存，否则不补充。库存序列构成的马尔科夫链的状态空间为库存的所有可能值，一步转移概率取决于需求量和库存补充策略。通过分析一步转移概率矩阵，可以找出平稳分布，计算补充库存数的数学期望。 第三个问题讨论的是数字通信系统，输入的0/1码转换成0、1、-1序列。输入和输出之间的关系定义了一种马尔科夫链，输出序列的状态空间是输入序列可能的状态加上输出的顺序规则。通过计算一步转移概率矩阵，可以找到平稳分布，进而计算输出序列的期望和相关函数。 最后一个问题是关于具有特定一步转移概率的马尔科夫链，探讨了不同状态的性质，如正常返、零常返、非常返和周期性。对于正常返状态，可以求出其平稳分布；对于零常返状态，不存在平稳分布。 马尔科夫链在这些例题中被用来建模随机过程，如张三跑步的鞋状况、商店库存变化、数字通信系统的编码转换和特定状态的性质分析。通过理解马尔科夫链的概念、状态空间、转移概率和平稳分布，我们可以解决各种实际问题，预测系统长期行为并做出决策。