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Solution to Evans pde.pdf

偏微分方程

Evans

需积分: 43 66 下载量 22 浏览量 2020-01-19 16:30:04 上传评论 19 收藏 263KB PDF 举报

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37页

本人上课时所使用的教材，Evans偏微分方程第五章、第八章、第九章部分习题的答案，由于网上鲜有这部分习题的答案，在上完PDE课程后整理习题解答得此文档，以供日后参考使用。

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Evans 偏微分方程的部分习题解答

杨嘉南

∗

前言: 本习题解答仅包含浙江大学《现代偏微分方程》这一课程中教授布置过的作业习题。

本课程使用了 Evans 所著的《偏微分方程》这一优秀教材。由于网上鲜有 Evans 所著偏微分方

程课后习题的相关解答或提示 (或者错误百出)，且难度较高，很多问题都是通过班上几位同学

与教授讨论之后才能够给出解答。该课程结束后，本人收集了多名同学的解答并略作整理，制

作了本份习题解答参考，希望能对之后自学 Evans 所著《偏微分方程》的同学有所帮助。答案

可能仍有疏漏，希望使用这份答案的同学能够多多指教。由于本人英语水平不足，本答案将所

有习题都翻译成了中文，解答也用中文给出，所有习题对应于原书第二版内容。

关键词: Sobolev 空间，变分法，非变分法，存在性分析，不动点迭代

1 第五章: Sobolev 空间

练习 5.1 若 k ∈ {0, 1 . . . }, 0 < γ ≤ 1. 证明 C

k,γ

是一个 Banach 空间.

证明. ¬正定性

显然

C(U )

≥ 0, ∀α ∈ {|α| ≤ k}

u(x) − D

u(y)|

|x − y|

≥ 0 ⇒ [D

0,γ

(U)

≥ 0

若 kuk

k,γ

(U)

= 0, 则

kuk

C(U )

≤ kuk

k,γ

(U)

= 0 ⇒ u ≡ 0

若 u ≡ 0, 则 D

u ≡ 0,

u(x) − D

u(y)

(x − y)

| = |

−

(x − y)

|, ∀x 6= y

因此 kuk

k,γ

(U)

= 0.

三角不等式

证明

∀u, v ∈ C

(U), ku + vk

k,γ

(U)

≤ kuk

k,γ

(U)

+ kvk

k,γ

(U)

∗

浙江省杭州市浙大路 38 号, 浙江大学数学科学学院 (3160102138@zju.edu.cn)

1 第五章: SOBOLEV 空间 2

由

(u + v)k

C(U )

= max

x∈U

u(x) + D

v(x)|

≤ max

x∈U

u(x)| + max

x∈U

v(x)| = kD

C(U )

+ kD

C(U )

[

(

)]

0,γ

(U)

sup

x,y∈ U

x=y

{

(u(x) + v(x)) − D

(u(y) + v(y))|

|x − y|

}

= sup

x,y∈ U

x=y

{

(u(x) − u(y)) + D

(v(x) − v(y))|

|x − y|

}

≤ sup

x,y∈ U

x=y

{

u(x) − D

u(y)|

|x − y|

v(x) − D

v(y)|

|x − y|

}

≤ sup

x,y∈ U

x=y

{

u(x) − D

u(y)|

|x − y|

} + sup

x,y ∈U

x=y

{

v(x) − D

v(y)|

|x − y|

}

= [D

0,γ

(U)

+ [D

0,γ

(U)

∴ ku + vk

k,γ

(U)

≤ kuk

k,γ

(U)

+ kvk

k,γ

(U)

®齐次性

kβuk

k,γ

(U)

|α|≤k

(βu)k

C(U )

|α|=k

(βu)]

0,γ

(U)

|α|≤k

kβD

(u)k

C(U )

|α|=k

[βD

(u)]

0,γ

(U)

|α|≤k

|β|kD

(u)k

C(U )

|α|=k

[βD

(u)]

0,γ

(U)

其中

[βD

0,γ

(U)

= sup

x,y ∈U

x=y

{

|βD

u(x) − βD

u(y)|

|x − y|

} = sup

x,y ∈U

x=y

{|β|

u(x) − D

u(y)|

|x − y|

}

= |β| sup

x,y ∈U

x=y

{

u(x) − D

u(y)|

|x − y|

} = |β|[D

(u)]

0,γ

(U)

∴ kβuk

k,γ

(U) = |β|(

|α|≤k

(u)k

C(U )

|α|=k

(u)]

0,γ

(U)

) = |β|kuk

k,γ

(U)

¯完备性:

给定 C

k,γ

(U) 中的一个 Cauchy 列 {u

}. 证明存在一个 u ∈ C

k,γ

(U) 满足

→ u(u ∈ ∞) in C

k,γ

(U)

1 第五章: SOBOLEV 空间 3

由 {u

} ⊂ C

(U), 而 C

(U) 是完备的. 可找到一个 u ∈ C

(U), lim

n→∞

= u 在 C

(U) 中

成立.

为方便起见, 定义 v := D

u, v

:= D

, 则对任意固定的 x 6= y,

|v(x) − v(y)|

|x − y|

|v(x) − v

(x) + v

(x) − v

(y) + v

(y) − v(y)|

|x − y|

≤

|v(x) − v

(x)|

|x − y|

(x) − v

(y)|

|x − y|

(y) − v(y)|

|x − y|

, ∀m ∈ N

令 m → ∞ 时,

|v (x)−v

(x)|

|x−y|

与

(y )−v(y)|

|x−y |

可以任意小 (v

→ v 是一致的). 并且

(x)−v

(y )|

|x−y|

由所取的 Cauchy 列的性质, 一致有界.

不妨记

(x)−v

(y )|

−

≤ M

(x 6= y), 从而有 u ∈ C

k,γ

(U).

最后证 Cauchy 列的收敛性, 只需证 Holder 半范收敛.

(v −v

)(x) − (v −v

)(y)

|x − y|

| =

|v(x) − v

(x) − v(y) + v

(y)|

|x − y|

|lim

k→∞

(x) − v

(x) − lim

k→∞

(y) + v

(y)|

|x − y|

= lim

k→∞

(x) − v

(y) + v

(y)|

|x − y|

= lim

k→∞

|(v

− v

)(x) − (v

− v

)(y)|

|x − y|

由 {u

} Cauchy 列的性质, 此式值可任意小 (x 6= y, m 足够大),v

→ v 成立. 由于 α 的个数是

有限的, 从而 u

→ u in C

k,γ

(U) 成立.

练习 5.2 假设 0 < β < γ ≤ 1. 证明插值不等式

kuk

0,γ

(U)

≤ kuk

1−γ

1−β

0,β

(U)

kuk

γ−β

1−β

0,1

(U)

证明. 令 t =

γ−β

1−β

, 则 (1 − t)β + t = γ,

|u(x) − u(y)|

|x − y|



|u(x) − u(y)|

|x − y|



1−t



|u(x) − u(y)|

|x − y|



从而

kuk

0,γ

(U)

≤ kuk

1−t

C(U )

kuk

C(U )

+ [u]

1−t

0,β

(U)

[u]

0,1

(U)

记 a

= kuk

C(U )

, b

= kuk

1−t

C(U )

kuk

C(U )

, a

= [u]

0,β

(U)

, b

= [u]

0,1

(U)

而 f(x) = x

(0 < t <

1 第五章: SOBOLEV 空间 4

1) 是一个凹函数, 从而

1−t

+ a

1−t

= (a

+ a

)

+ a





+ a





≤ (a

+ a

)



+ b

+ a



= (a

+ a

)

1−t

+ b

)

从而

kuk

0,γ

(U)

≤ kuk

1−t

C(U )

kuk

C(U )

+ [u]

1−t

0,β

(U)

+ [u]

0,1

(U)

≤ (kuk

0,γ

(U)

+ [u]

0,β

(U)

)

1−t

(kuk

C(U )

+ [u]

0,1

(U)

)

= kuk

1−t

0,β

(U)

kuk

0,1

(U)

练习 5.3 记 U 为开方形 {x ∈ R



| < 1, |x

| < 1}. 定义











1 − x

> 0 |x

| < x

1 + x

< 0 |x

| < −x

1 − x

> 0 |x

| < x

1 + x

< 0 |x

| < −x

对哪些 1 ≤ p ≤ ∞, 有 u ∈ W

1,p

(U)?

证明. 显然 u ∈ C(U ), 且 u 在每个三角形内部平滑. 定义 v = Du 在每一个三角形上, 即











(−1, 0) x

> 0 |x

| < x

(1, 0) x

< 0 |x

| < −x

(0, −1) x

> 0 |x

| < x

(0, 1) x

< 0 |x

| < −x

则对任意 ϕ ∈ C

∞

(U), 用 U

(i = 1, 2, 3, 4) 分别表示四个三角形, 则

vϕ =

i=1

(Du)ϕ = −

i=1

uDϕ +

i=1

∂U

n

uϕ

我们已知 ϕ = 0 在 ∂U 上成立, 且 u 在 ∂U

上连续, 从而

i=1

∂U

n

uϕ = 0

1 第五章: SOBOLEV 空间 5

因此

vϕ = −

i=1

uDϕ = −

uDϕ

对每个分量成立, 因此 u ∈ W

1,p

对任意 p 成立 (v 显然是 L

的).

练习 5.4 假设 n = 1, u ∈ W

1,p

(0, 1) 对某个 1 ≤ p < ∞ 成立.

(a) 证明 u 几乎处处等于一个绝对连续函数, 其几乎处处存在的导数 u

′

∈ L

(0, 1).

(b) 证明若 1 < p < ∞, 则

|u(x) − u(y)| ≤ |x − y|

1−



′



几乎对每一对 x, y ∈ [0, 1] 处处成立.

证明.

(a) 定义 v(t) =

Du(s)ds, 则 v 是一个绝对连续函数. 对任意给定的 ϕ ∈ C

∞

(v −u)ϕ

′

dx =

Du(t)ϕ

′

(x)dt −

u(x)ϕ

′

(x)dx

′

(x)Du(t)dx +

Du(x)ϕ(x)dx

= −

ϕ(t)Du(t)dt +

Du(x)ϕ(x)dx = 0, Du ∈ L

(0, 1)

因此 v(x) − u(x) = C a.e. , 且 v(x) − C 是绝对连续的.

(b) 由 Holder 不等式

′

(t)|dt ≤



′









1−





′



|(y −x)|

1−

|u(x) − u(y)|

a.e.

====



(

′

(t)|dt)



≤



′

(t)|dt



≤ |x − y|

1−



′



练习 5.5 设 U, V 是开集, V ⊂⊂ U. 证明存在一个光滑函数 ζ, ζ ≡ 1 在 V 上成立, ζ = 0 在 ∂U

附近成立.

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