欧拉公式 V-E+F=2 的两种证明
需积分: 20 159 浏览量
2016-08-08
17:01:56
上传
评论 1
收藏 15KB DOCX 举报
V=顶点 F=面 E=棱
证明思路一: 逐步减少多面体的棱数, 分析 V＋F－E．
先以简单的四面体 ABCD 为例加以说明．
1、去掉一个面, 再将它压缩为平面图形．四面体顶点数 V、棱数 E 与剩下的面数 F1
变形后都没有变．因此, 要研究 V、E 和 F 关系, 只需去掉一个面变为平面图形, 证 V
＋F1－E＝1．
2、将所得的平面图形外围的线段逐一去掉．每去掉一条线段, 就减少一个面, V＋F1
－E 不变．依次去掉所有的外围线段, 变为“树枝形”．
3、从剩下的树枝形中, 逐一去掉线段, 直至只剩一条线段．每去掉一条线段, 就减少
一个顶点, V＋F1－E 不变, 最后只剩下一条线段, 此时 V＋F1－E＝2＋0－1＝1．
4、以上过程 V＋F1－E 不变, V＋F1－E＝1．所以加上去掉的一个面, V＋F－E＝
2．
对任意的简单多面体, 运用这样的方法, 都是只剩下一条线段．因此公式对任意简单多
面体都是正确的．
证明思路二: 计算多面体各面内角和．
设多面体顶点数 V, 面数 F, 棱数 E．剪掉一个面, 使它变为平面图形(拉开图), 求所有
面内角总和∑α．
一方面, 在原图中利用各面求内角总和．
设有 F 个面, 各面的边数为 n1, n2, …, nF, 各面内角总和为:
∑α ＝[(n1－2)·180°＋(n2－2)·180°＋…＋(nF－2)·180°]
＝(n1＋n2＋…＋nF－2F)·180°
＝(2E－2F)·180°
＝(E－F)·360°(1)
另一方面, 在拉开图中利用顶点求内角总和．
资源评论
