### 黑斯克尔斯市场模型概述
在金融工程领域中，黑斯克尔斯市场模型（Black-Scholes Market Model）是研究金融衍生品定价的重要工具之一。本篇内容基于Dr. Hanqing Jin在2019年上海财经大学暑期课程中的讲座资料，详细介绍了连续时间市场下的黑斯克尔斯模型及其基本假设、市场随机性描述、资产价格过程以及无套利条件等内容。
### 市场结构与随机性描述
#### 市场构成
在该模型中，市场由\( n+1 \)种连续交易的证券组成，这些证券交易的时间区间为\[ 0, T \]，且市场不存在摩擦。其中：
- 一种证券是债券，其价格过程遵循确定利率\( r(t) \)的变化。
- 其余\( n \)种证券为股票等风险资产，其价格过程遵循随机微分方程（Stochastic Differential Equation, SDE）。
#### 随机性描述
市场随机性由一个概率空间\( (\Omega, F, \{F_t\}_{t \geq 0}, P) \)及一个标准\( m \)-维布朗运动\( B(t) = (B_1(t), \cdots, B_m(t))^{\prime} \)来描述，其中\( F_t = F^B_t \vee N(P) \)，表示在时刻\( t \)的信息集合。
### 资产价格过程
#### 债券价格过程
债券的价格过程\( S_0(t) \)满足以下常微分方程：
\[ dS_0(t) = r(t)S_0(t)dt, \quad S_0(0) = s_0 > 0 \]
其中\( r(t) \)为即时利率，\( S_0(0) = s_0 \)为初始债券价格。
#### 股票价格过程
风险资产（如股票）的价格过程\( S_i(t) \)满足以下随机微分方程：
\[ dS_i(t) = S_i(t) \left[ \mu_i(t)dt + \sum_{j=1}^{m}\sigma_{ij}(t)dB_j(t) \right], \quad S_i(0) = s_i > 0 \]
其中：
- \( \mu_i(t) \)为资产\( i \)的升值率；
- \( \sigma_{ij}(t) \)为资产\( i \)相对于布朗运动\( B_j(t) \)的波动率（扩散率）。
定义协方差矩阵\( \sigma(t) \)及超额回报率过程\( u(t) \)如下：
- \( \sigma(t) := (\sigma_{ij}(t))_{n \times m} \)为\( n \times m \)阶矩阵，其中\( \sigma_{ij}(t) \)为资产\( i \)对布朗运动\( j \)的波动率；
- \( u(t) := (\mu_1(t) - r(t), \cdots, \mu_n(t) - r(t))^{\prime} \)为超额回报率向量。
基本假设：\( r(\cdot) \)，\( u_i(\cdot) \)，\( \sigma_{ij}(\cdot) \)均为\( F_t \)-可适应的随机过程。
### 投资组合与财富过程
#### 投资组合
投资者持有货币投资组合\( \pi_0(t), \pi_1(t), \cdots, \pi_n(t) \)，其中：
- \( \pi_0(t) \)为投资于债券的资金量；
- \( \pi_i(t) \)为投资于风险资产\( i \)的资金量，必须是\( F_t \)-可测的。
总财富\( W_t \)定义为：
\[ W_t = \sum_{i=0}^{n}\pi_i(t) \]
自融资原则下，总财富的微分形式为：
\[ dW_t = \sum_{i=0}^{n} \pi_i(t) \frac{dS_i(t)}{S_i(t)} \]
定义投资组合向量\( \pi(t) := (\pi_1(t), \cdots, \pi_n(t))^{\prime} \)，则财富方程可以表示为：
\[ dW(t) = [r(t)W(t) + \pi(t)^{\prime}u(t)]dt + \pi(t)^{\prime}\sigma(t)dB(t), \quad W(0) = x_0 \]
其中，\( \pi_0(\cdot) \)可以根据\( \pi(\cdot) \)隐式确定。
#### 折现财富与投资组合
定义折现总财富\( \bar{W}(t) := \frac{W(t)}{S_0(t)} \)和折现投资组合\( \bar{\pi}(t) := \frac{\pi(t)}{S_0(t)} \)，则折现财富过程满足：
\[ d\bar{W}(t) = \bar{\pi}(t)^{\prime}u(t)dt + \bar{\pi}(t)^{\prime}\sigma(t)dB(t), \quad \bar{W}(0) = x_0 \]
#### 无套利定义
无套利投资组合是指从初始财富为0出发时，折现财富过程\( \bar{W}(t) \)保持有界性。即，如果对于所有的\( t \)，\( \bar{W}(t) \geq 0 \)，则称该投资组合为无套利投资组合。
### 无套利市场
#### 定义
根据定义，若存在一个无套利机会，即存在一个从0出发的投资策略使得\( W(T) \geq 0 \)且\( E[W(T)] > 0 \)，则该市场存在套利机会。若不存在这样的投资策略，则称该市场为无套利市场。
#### 例题分析
考虑一个包含三种股票和一种债券的市场，利率\( r = 0.1 \)，升值率向量\( \mu = \begin{pmatrix} 0.15 \\ 0.14 \\ 0.13 \end{pmatrix} \)，波动率矩阵\( \sigma' = \begin{pmatrix} 0.1 & 0.05 & 0.05 \\ 0 & 0.1 & -0.1 \\ 0.5 & 0 & 0.5 \end{pmatrix} \)，则超额回报率向量\( u(t) = \begin{pmatrix} 0.05 \\ 0 \end{pmatrix} \)。
在实际应用中，分析一个具体市场的无套利性质通常需要进一步考察超额回报率向量\( u(t) \)是否能够形成无风险套利机会，进而判断是否存在无套利策略。
