Bollverslev, T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31 (3), 307–327 .
### 通义自回归条件异方差模型（GARCH）概览
#### 一、引言与背景
本文探讨了由Bollerslev在1986年提出的通义自回归条件异方差（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, GARCH）模型。该模型是对Engle于1982年提出的自回归条件异方差（Autoregressive Conditional Heteroskedastic, ARCH）模型的一种自然扩展。通过允许当前条件方差依赖于过去条件方差和残差平方，GARCH模型为时间序列分析提供了一种更灵活的方法。
#### 二、ARCH模型回顾
在引入GARCH模型之前，先简要回顾一下ARCH模型的基本概念。ARCH模型主要关注于金融时间序列中波动率的变化特征，即条件方差随时间变化的特性。ARCH(p)模型的一般形式可以表示为：
\[ \sigma_t^2 = \omega + \alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 \varepsilon_{t-2}^2 + ... + \alpha_p \varepsilon_{t-p}^2 \]
其中，\(\sigma_t^2\) 表示t时刻的条件方差，\(\varepsilon_t\) 是随机扰动项，而\(\omega\) 和\(\alpha_i\) 是模型参数。这种模型假设当前时刻的条件方差仅与前p个时期的残差平方有关，这在一定程度上限制了模型的应用范围。
#### 三、GARCH模型介绍
为了克服ARCH模型的局限性，Bollerslev提出了GARCH模型。GARCH(p,q)模型的一般形式如下：
\[ \sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{p} \alpha_i \varepsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{q} \beta_j \sigma_{t-j}^2 \]
其中，\(\sigma_t^2\) 代表t时刻的条件方差，\(\varepsilon_t\) 是随机扰动项，而\(\omega\)、\(\alpha_i\) 和\(\beta_j\) 是模型参数。可以看到，除了依赖于过去的残差平方外，GARCH模型还考虑了过去的条件方差对当前条件方差的影响，这使得模型更加符合实际数据的动态特性。
#### 四、GARCH模型的性质
1. **平稳性**：对于一个稳定的GARCH过程，其平稳性条件为所有根位于单位圆外。具体而言，对于GARCH(1,1)模型，如果\(\omega > 0\), \(\alpha_1 + \beta_1 < 1\)，则模型是平稳的。
2. **自相关结构**：GARCH模型具有复杂的自相关结构，这意味着残差的平方或条件方差之间可能存在显著的相关性。这种特性对于捕捉金融市场的波动聚集效应非常重要。
3. **参数估计**：通常采用极大似然估计法进行GARCH模型的参数估计。由于模型的非线性特性，通常需要数值优化方法来求解最大似然估计问题。
4. **诊断检验**：在模型估计完成后，可以通过检验残差平方的自相关性来进行模型的有效性检验。常用的检验方法包括Ljung-Box Q统计量等。
#### 五、应用案例
Bollerslev在论文中提到了一个关于通胀率不确定性的实证例子。通过将GARCH模型应用于通胀率数据，可以更准确地评估通胀不确定性随时间的变化情况。此外，GARCH模型也被广泛应用于其他领域，如外汇市场、股票市场波动性建模等。
#### 六、结论
GARCH模型作为ARCH模型的扩展，通过允许条件方差不仅受到过去残差的影响，还能被之前的条件方差所影响，从而提供了更为灵活的时间序列波动性建模工具。GARCH模型在经济学、金融学等多个领域有着广泛的应用价值，并且随着金融市场的不断发展，其重要性也在不断增长。
