12_steps_to_Navier_Stokes.pdf_用Python求解Burgers方程的结果资源-CSDN文库

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这份文件是一份国外的计算流体力学（CFD）入门教程，标题为《12_steps_to_Navier_Stokes.pdf》。教程的核心内容是基于Python编程语言，逐步引导读者从一维波动方程的基础知识入手，进阶到解决二维顶盖驱动流的问题。在这个过程中，不仅涉及方程推导，还包括编写程序的实际操作，内容十分详细。课程内容涵盖了流体力学和偏微分方程的基础知识，适合有一定编程背景和理论基础的学习者。教程假定读者已经掌握编程基础（不限语言），并对偏微分方程和流体力学有初步了解。教程中还介绍了一些CFD领域的经典方案，比如伯格斯方程，并对它们进行了详细讲解。教程中涉及到的重要知识点包括： 1. 一维线性对流方程：介绍了对流现象的数学表达，以及如何用离散化方法来处理时间和空间上的变化。 2. 非线性对流问题：讨论了实际流体运动中非线性对流对流体力学的影响。 3. 收敛性和CFL（Courant-Friedrichs-Lewy）条件：CFL条件是数值分析中用于稳定性分析的准则之一，它保证了数值模拟过程的收敛性。 4. 扩散方程：扩散现象是流体力学中的基本概念，涉及到能量、质量或动量在介质中的分布。 5. 二阶导数的离散化：在数值模拟中，连续函数的导数被离散值所替代，而二阶导数的离散化方法是建立数值模型的关键。 6. 伯格斯方程（Burgers' Equation）：一个简化了的非线性偏微分方程，用来模拟黏性流体中的对流和扩散现象。 7. 初始和边界条件：是进行数值模拟之前必须明确的问题，初始条件描述了问题的起始状态，边界条件描述了问题边界上的物理量。 8. NumPy和SymPy库的使用：这两个Python库分别用于处理数组操作和进行符号计算，是进行CFD模拟时的重要工具。 9. Numba优化：Numba是一个开源JIT（Just-In-Time）编译器，它可以将Python和NumPy代码转换成快速机器代码。 10. NumbaPro和CUDA JIT：NumbaPro是Numba的一个商业版本，支持对CUDA进行JIT优化，而CUDA JIT用于编写可以在GPU上运行的代码。 11. 空腔流体和管道流体的纳维-斯托克斯方程：纳维-斯托克斯方程描述了流体的运动，是CFD领域中最为核心的方程之一。 12. 使用不同CFD方案评价伯格斯方程：介绍了多种CFD方案来模拟并分析伯格斯方程，如Lax-Friedrichs方案、Lax-Wendroff方案、MacCormack方案、Beam-Warming隐式方案等。以上就是这份教程中的主要内容和知识点。它不仅能够帮助读者建立起计算流体力学的基础理论知识，还能够通过实践操作让读者掌握如何使用Python及其相关库来解决实际的CFD问题。整个教程结构清晰、步骤详细，并不断引入新的概念和工具，最终目标是让读者能够独立编写出用于解决复杂流体问题的纳维-斯托克斯方程求解器。

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12 步到达纳维——斯托克斯

Lorena A Barba 编写刘尚懿翻译

2018 年 5 月 9 日

第 1 章步骤 1 1

1.1 1 维线性对流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 了解更多 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 最后但不是最重要的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

第 2 章步骤 2 5

2.1 非线性对流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 了解更多 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

第 3 章 CFL 条件 7

3.1 收敛与 CFL 条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 怎么了？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 了解更多 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

第 4 章步骤 3 12

4.1 1 维中的扩散方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 离散二阶导数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3 返回步骤 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.4 了解更多 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

第 5 章步骤 4 14

5.1 伯格斯方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2 初始和边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3 使用 SymPy 节省时间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.4 现在做什么？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.5 Lambdify 函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.6 回到伯格斯方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.7 周期边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.8 接下来是什么？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

第 6 章使用 NumPy 进行数组操作 20

6.1 速度增加 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

第 7 章步骤 5 23

7.1 2 维线性对流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.2 3 维绘图说明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.3 在两个维度上迭代 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.4 数组操作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7.5 了解更多 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

第 8 章步骤 6 28

8.1 2 维对流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8.2 初始状态 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8.3 边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

8.4 了解更多 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

第 9 章步骤 7 32

9.1 2 维扩散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

9.2 了解更多 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

第 10 章步骤 8 36

10.1 2 维伯格斯方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

10.2 了解更多 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

第 11 章在 Python 中定义函数 40

11.1 在 Python 中定义函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

11.2 了解更多 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

第 12 章步骤 9 42

12.1 2 维拉普拉斯方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

12.2 使用函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

12.3 了解更多 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

第 13 章步骤 10 46

13.1 2 维泊松方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

13.2 了解更多 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

第 14 章用 Numba 优化循环 49

14.1 用 Numba 优化循环 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

第 15 章步骤 11 54

15.1 空腔流体的纳维——斯托克斯方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

15.2 离散方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

15.3 实现空腔流体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

15.4 了解更多 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

第 16 章步骤 12 60

16.1 管道流体的纳维——斯托克斯方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

16.2 离散方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

16.3 了解更多 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

第 17 章使用 NumbaPro 进一步优化 68

17.1 使用 NumbaPro 进一步优化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

17.2 CUDA JIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

第 1 章步骤 1

您好！欢迎来到 12 步到达纳维——斯托克斯。这是一个用于交互式计算流体力学 (CFD) 初

级课程的实践模块，是由罗瑞娜巴尔巴教授自 2009 年春季起在波士顿大学讲授。本课程假定读

者具有基本的编程知识 (任何语言均可)、偏微分方程和流体力学中的一些基础。本实践模块受到

了巴尔巴实验室里的一个博士后力拓田博士的启发，并经过巴尔巴和她的学生在几个学期的教学

过程中进行完善。本课程完全使用 Python，那些不了解 Python 的学生可以通过模块学习。

jupyter notebook 将引导您从头开始用 Python 编写纳维——斯托克斯解算器。我们要立刻

开始了。不要担心，如果你不明白发生的一切，我们会在我们前进的时候详细介绍它。

要获得最佳效果，在遵循本笔记本后，请为步骤 1 准备自己的代码（作为 Python 脚本或在

干净的 jupyter notebook 中）。

要执行此笔记本，我们假定您已使用以下方式调用了笔记本服务器：jupyter notebook

1.1 1 维线性对流

一维线性对流方程是可以用来学习有关 CFD 知识的最简单、最基本的模型。令人惊讶的是，

这个小方程式能教会我们非常多的东西！这个就是：

∂u

∂t

+ c

∂u

∂x

= 0

在给定初始状态下 (理解为一个波), 方程表示该初始波的传播速度为 c，形状不变。设初始

状态为 u(x, 0) = u

(x)。然后方程的精确解是 u(x, t) = u

(x−ct)。

我们使用前向差分格式的时间导数和后向差分格式的空间导数，在空间和时间上对该方程进

行离散化。考虑把空间坐标 x 离散成下标从 i = 0 to N 的点，并以 ∆t 为离散时间间隔步长。

从导数的定义（并简单地去除极限），我们知道：

∂u

∂x

≈

u(x + ∆x) − u(x)

∆x

则我们的离散方程为：

n+1

− u

∆t

+ c

− u

i−1

∆x

= 0

其中 n 和 n + 1 在时间上是两个连续的步骤，而 i − 1 和 i 是离散的 x 坐标的两个相邻点。

如果给定初始状态，那么在这种离散化过程中唯一的未知量是 u

n+1

。我们可以得到一个方程来求

出我们的未知量，如下所示：

n+1

= u

− c

∆t

∆x

− u

i−1

)

现在让我们试试在 Python 中实现它。

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qinghaiyiran

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12_steps_to_Navier_Stokes.pdf

CFDPython:CFD Python，又称为Navier-Stokes的12个步骤

Navier-Stokes.zip_matlab例程_matlab_

12-steps-to-navier-stokes:该项目包含12个用于计算Navier Stokes方程的代码

12-Steps-To-Navier-Stokes:Lorena A. Barba的“迈向纳维斯托克斯的12个步骤”，使用C ++和SDL 2实现

CFDPython：Jupyter笔记本的序列，具有“ Navier-Stokes的12个步骤” http://lorenabarba.com

12StepsToNavierStokes:这是我对Lorena Barbara精彩笔记本课程的总结-https

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