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Finite Elements for the Steady Stokes Equations

John Burkardt

Department of Scientiﬁc Computing

Florida State University

..........

12:30-1:45, 23 June 2014

ISC 5907

..........

http://people.sc.fsu.edu/∼jburkardt/presentations/...

stokes 2014 fsu.pdf

1 / 48

Fluid Flow Problems and Fluid Flow Solvers

Deal.II Fenics

FreeFem++ Ifiss

2 / 48

INTRO: Equations of Fluid Motion

The equations that describe ﬂuid ﬂow are more complicated, in a

number of ways, than what we have seen for model problems such

as the Poisson equation in 1 or 2 dimensions.

Let’s take a look at a standard model for ﬂuid ﬂow, the

time-dependent Navier-Stokes equations.

We’ll simplify this system as much as possible, to the steady

Stokes equations, which are still complicated enough to introduce

some of the ideas you need in order to apply the ﬁnite element

method to ﬂuid ﬂow.

3 / 48

FEM NAVIER STOKES

Equations of Fluid Motion

A Finite Element Formulation

Computing Basis Functions

Assembling the Matrix

4 / 48

EQUATIONS: The Navier Stokes Equations

Any study of ﬂuid ﬂow starts with the Navier-Stokes equations:

ρv

− ρν∆v + ρ(v · ∇)v + ∇p =f (momentum equations)

+ ∇ · (ρv) =0 (continuity equation)

This is a relatively simple version!

We could add compressibility, heat transfer, turbulence.

Notice our hidden friend the (time dependent) Poisson equation:

ρv

− ρν∆v = f

v is the 1D/2D/3D velocity vector: u, or (u,v) or (u,v,w);

p is the pressure;

ρ is the (constant?) ﬂuid density;

ν is the kinematic viscosity (stickiness);

f represents body forces such as gravity.

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