一元二次方程压轴题含答案.doc

【一元二次方程及其应用】 一元二次方程是形如 ax² + bx + c = 0（其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0）的方程。在高中数学中，它是核心内容之一，涉及到根的存在性、唯一性、实数根与虚数根以及根与系数的关系。 1. 方程 x² + px + q + 1 = 0 有一个实数根为 2。根据韦达定理，若方程有一个实数根 r，则 r² + pr + q + 1 = 0。将 r = 2 代入，我们得到 q = -2p - 5。进一步，通过判别式 Δ = b² - 4ac 来判断方程的根的情况，这里 Δ = p² - 4(-2p - 5) = p² + 8p + 20。由于 Δ = (p + 4)² + 4 > 0，所以方程总有两个不同的实数根。对于对应的抛物线 y1 = x² + px + q，它必定与 x 轴有两个交点。 2. 设方程 x² - 5x - m² + 1 = 0 的两个实数根为 α、β，要求 |α| + |β| ≤ 6 成立，这意味着根的绝对值之和不能超过6。根据韦达定理，α + β = 5，αβ = -m² + 1。利用均值不等式，可以确定 m 的取值范围。 3. 一元二次方程 (a - 6)x² + 2ax + a = 0 有两个实数根 x1、x2，问题涉及到了根的性质和等式的变形。如果 -x1 + x1x2 = 4 + x2 成立，我们可以建立关于 a 和 x1、x2 的关系式，通过解这个方程来寻找 a 的可能值。 4. 方程 x² - (a + b + 1)x + a = 0 有两个实数根 x1、x2，并且 x1 ≤ x2。问题要求证明 x1 ≤ 1 ≤ x2，并在特定条件下找点 P 的坐标。这需要我们利用根与系数的关系和不等式的性质进行推理。 5. 方程组 {y² = 4x, y = 2x + b} 有两个实数解。我们需要找到解的表达式，然后根据条件 x1x2 ≠ 0, x1 ≠ x2 分析 b 的取值范围。进一步，探讨是否存在 b 使得 1/x1 + 1/x2 = 1 成立。 6. 在 a + b + c = 0 和 abc = 8 的约束下，寻找 c 的取值范围。这需要用到代数技巧，比如因式分解或换元法。 7. 给定条件 x + y = 3a - 1, x² + y² = 4a² - 2a + 2，求 xy 的取值范围。这可能需要用到柯西-施瓦茨不等式或构造平方项。 8. 方程 (ax + 1)² = a²(1 - x²) 有两个实数根 x1、x2，且 x1 < x2。要证明 -1 < x1 < 0 < x2 < 1，我们需要分析方程的性质，可能涉及到根的比较和不等式的证明。 以上问题涵盖了二次方程的多个方面，包括根的性质、图形分析、代数变换以及不等式的应用。解答这些问题需要对一元二次方程有深入的理解，同时掌握相关的代数和几何知识。