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一元二次方程韦达定理的应用
知识点:
一元二次方程根的判别式 :
当△>0 时________方程_____________,
当△=0 时_________方程有_______________ ,
当△<0 时_________方程___________ .
韦达定理的应用:
1.方程的一个根,求另一个根和未知系数
2.求与方程的两个根有关的代数式的值
3.方程两根满足某种关系, 确定方程中字母系数的值
4.两数的和与积, 求这两个数
例 1.关于 x 的一元二次方程
2 2
2 3 8 4 0x mx m m
.求证: 当 m>2 时,原方程永远有两个实数根.
例 2.关于 x 的方程
2
2( 1) 1 0kx x x k
有两个不相等的实数根.
(1)求 k 的取值范围;
(2)是否存在实数 k, 使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?假设存在, 求出 k 的值;假设不存在, 说
明理由.
例 3.关于 x 的方程
2 2
2( 3) 4 1 0x k x k k
(1)假设这个方程有实数根, 求 k 的取值范围;(2)假设这个方程有一个根为 1, 求 k 的值;
例 4.关于 x 的一元二次方程
2
1
( 2) 3 0
2
x m x m
(1)求证: 无论 m 取什么实数值, 这个方程总有两个不相等的实数根。
(2)假设这个方程的两个实数根
, 求 m 的值。
例 5.当 m 为何值时, 方程
2
8 ( 1) 7 0x m x m
的两根:
(1) 均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数, 一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于 2.
例 6. a,b,c,是△ ABC 的三边长, 且关于 x 的方程
2 2
( 1) 2 ( 1) 0b x ax c x
有两个相等的实根,
求证: 这个三角形是直角三角形。
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