这篇博士学位论文专注于两个核心议题,分别是简单凸3多面体的示性函数存在性和m- gon Moment-Angle流形的部分商流形分类。在1991年,Davis和Januszkiewicz在他们的研究中引入了两类流形,即拟toric流形和小覆盖流形。这两类流形具有局部标准的T"作用或^作用,并且以一个简单的凸n-多面体F*作为轨道空间。这些流形可以通过群作用在流形上的信息赋予N或兮颜色,F*上的颜色也被称为示性函数,记为(FU)。
Davis和Januszkiewicz证明,拟toric流形和小覆盖流形的上同调环可以用(F*,A)来描述,它们的几何拓扑性质也完全由(F*,A)决定。换句话说,拟toric流形或小覆盖流形等价于(F*,A)。他们还引入了一个带有轨道空间P*的Z_p流形,其中m是F*的codimension 1面的数量。Z_p流形具有普遍性质:对于每一个拟toric流形M,都存在一个主T_m纤维丛Z_p → M,使得复合映射与Z_p的轨道映射一致。
2000年,Buchstaber和Panov进一步推广了Moment-Angle流形的概念,这扩展了对toric流形之间代数和组合对象相互关系理解的有效方法。他们工作的关键在于Moment-Angle流形和其部分商流形,这部分内容涉及了流形的结构、示性函数以及相关的拓扑性质。
示性函数在理解多面体的几何特性上起着至关重要的作用。对于简单凸3多面体,寻找其存在的示性函数是研究的核心问题之一。另一方面,Moment-Angle流形的部分商流形分类涉及到更深入的拓扑结构分析。这部分商操作可以揭示流形内在的复杂性,同时也为解决刚性问题、共观问题以及计算Buchstaber不变量等提供了工具。
在环面拓扑领域,四色定理是一个著名的例子,它展示了如何通过图论和拓扑学的结合来理解平面图的染色问题。同时,quasi-toric流形和small covers的理论与环面拓扑的其他问题紧密相连,如刚性问题(探讨流形是否能通过连续变形变为另一个流形)和共观问题(探究不同拓扑结构的等价性)。此外,复的Buchstaber不变量的计算是理解这些流形内在性质的重要途径。
总的来说,这篇论文深入探讨了大数据算法背景下的几何和拓扑问题,特别是3维多面体的示性函数以及Moment-Angle流形的部分商流形。这些概念和理论不仅在纯数学领域有重要意义,也在大数据分析中可能有着潜在的应用价值,例如通过拓扑数据分析复杂的高维数据结构。