四元数与旋转矩阵详细推导过程

四元数与旋转矩阵详细推导过程 在了解四元数（Quaternion）与三维旋转之间的关系之前，我们需要了解复数（Complex Number）的一些性质，以及它与二维旋转之间的关系。四元数的许多性质在很多层面上都与复数非常类似，因此理解复数的一些性质对理解四元数非常有帮助。 复数的定义和性质： 复数可以表示为 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 的形式，其中 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 且 𝑖² = −1。我们将 𝑎 称之为这个复数的实部（Real Part），𝑏 称之为这个复数的虚部（Imaginary Part）。因为 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 其实就是对于 {1, 𝑖} 这个基（Basis）的线性组合（Linear Combination），我们也可以用向量来表示一个复数：𝑧 = � 𝑎𝑏�。 复数加减法： 如果我们有两个复数 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖，它们的和就是分量相加的结果 𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖。如果要对它们相减，直接将分量相减就可以了 𝑧1 − 𝑧2 = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖。 复数乘法： 如果有两个复数 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖，我们可以使用分配律来计算它们的乘积 𝑧1𝑧2 = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 + 𝑏𝑑𝑖²。因为 𝑖² = −1，这可以进一步化简为 𝑧1𝑧2 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + (𝑏𝑐 + 𝑎𝑑)𝑖。 我们可以发现，复数相乘的结果其实也是一个矩阵与向量相乘的结果，也就是说：𝑧1𝑧2 = � 𝑎−𝑏𝑏𝑎� � 𝑐𝑑�。右侧的� 𝑐𝑑�是用向量的形式来表示的 𝑧2，而左侧的� 𝑎−𝑏𝑏𝑎�则是 𝑧1 的矩阵形式。 在矩阵形式下，复数与复数的相乘也可以表示为矩阵的相乘，如果我们有两个复数 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖，那么与 𝑧1𝑧2 所代表的变换则可以表示为 𝑧1𝑧2 =� 𝑎−𝑏𝑏𝑎� � 𝑐−𝑑𝑑𝑐�=� 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑−(𝑏𝑐 + 𝑎𝑑)𝑏𝑐 + 𝑎𝑑𝑎𝑐 − 𝑏𝑑�。 注意，复数的相乘是满足交换律的，如果你自己尝试一下，就会发现 𝑧1𝑧2与 𝑧2𝑧1 是等价的：𝑧2𝑧1 =� 𝑐−𝑑𝑑𝑐� � 𝑎−𝑏𝑏𝑎�=� 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑−(𝑏𝑐 + 𝑎𝑑)𝑏𝑐 + 𝑎𝑑𝑎𝑐 − 𝑏𝑑�= 𝑧1𝑧2。 在了解了复数的一些性质之后，我们可以更好地理解四元数与三维旋转之间的关系。四元数可以表示为 𝑞 = 𝑤 + 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 的形式，其中 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ。四元数的乘法也可以表示为矩阵的相乘，类似于复数乘法的形式。 四元数与旋转矩阵之间的关系： 四元数可以用来表示三维旋转，我们可以使用四元数来表示旋转矩阵。旋转矩阵可以用来描述三维空间中的旋转变换，而四元数可以提供一个更加简洁和直观的表示方法。 在下一章中，我们将会讨论四元数与旋转矩阵之间的关系，并探讨如何使用四元数来表示三维旋转。