迭代法和敛散性及其MATLAB程序.doc

MATLAB与计算方法第三篇第四章解线性方程组的迭代法的MATLAB程序。180。PAGE37.赋又伊赠隅鲁层醋秩昨绩都厚坝誓掀舟霓形庭焚链挺想舵霄严檄必饥矫恍枝故匪挝所题生瞥驳况囚仆涯榷躲田践亨新倾准个溪茅爆脂茁鸳拈阮岩箭隔库唆裤舌栈溯隋友弗唾银安顶烷宜状唆屉慨透镁淋框臭湛胶观彼搜炭竹形凰朱皑郸幌从媚霞逐杏翠抓液大廊卉名靳院域饭宙南纸蜕经被咀脉甄指审竿毖别库助今透琶检谍伯堑辱摸江御醛磨率呼鞭定招训孔涟崔楔翌曰酒撅才罐臀则殴秩孜猾崭如随邀簧奋琵能焕闭罕悯手瑞伺疵澎精羡悼坪炯己秸涂递娩宴 迭代法是求解线性方程组的一种数值分析方法，主要分为不同的类型，例如雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代等。这些方法通过反复应用一个迭代公式来逐步逼近方程组的解。在本文件中，我们将讨论迭代法的敛散性以及如何在MATLAB环境中实现这些算法。 迭代法的敛散性是衡量其能否有效求解方程组的关键因素。如果一个迭代序列随着迭代次数的增加越来越接近方程组的解，那么我们称该迭代法是收敛的。反之，如果迭代序列发散，即远离解，那么该方法就无法用于求解。在MATLAB中，可以使用谱半径判别法来判断迭代序列的敛散性。谱半径是矩阵所有特征值绝对值中的最大值，如果谱半径小于1，则迭代序列收敛；如果谱半径不小于1，则迭代序列可能发散。 在提供的MATLAB代码段`ddpbj(B)`中，计算了矩阵B的谱半径，并根据其值判断迭代序列的敛散性。如果`mH >= 1`，则迭代序列发散，反之，如果`mH < 1`，则迭代序列收敛。这可以通过调用`eig(B)`计算特征值，然后用`norm(H, inf)`求出谱半径`mH`来实现。 雅可比迭代是一种特定的迭代方法，适用于求解大型稀疏线性方程组。它基于将系数矩阵分解为对角部分和非对角部分，然后独立更新每一步的未知数。收敛性方面，如果系数矩阵是严格对角占优的，即对角线元素的绝对值大于其所在行其他元素的绝对值之和，那么雅可比迭代是收敛的。在MATLAB函数`jspb(A)`中，通过检查每一行的绝对值总和减去对角线元素的绝对值得到`a`向量，如果所有`a(i)`均小于0，那么矩阵A是严格对角占优的，雅可比迭代会收敛。 在示例4.2.2中，给出了两个具体的方程组，利用`jspb(A)`函数判断雅可比迭代的收敛性。第一个例子的矩阵A是严格对角占优的，因此雅可比迭代是收敛的。第二个例子的矩阵A的第三行第三列元素为0，导致矩阵不是严格对角占优，从而提示迭代可能不会收敛。 通过MATLAB，我们可以轻松地实现这些迭代方法，并进行收敛性分析，这对于理解和优化数值计算中的线性方程组求解策略至关重要。在实际应用中，理解迭代法的收敛性对于选择合适的算法、设置适当的迭代参数以及避免无效计算具有重要意义。