FFT的物理意义.
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2012-07-19
16:25:58
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FFT 的物理意义
FFT 是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是
很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号
分析采用 FFT 变换的原因。另外，FFT 可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析
方面也是经常用的。
虽然很多人都知道 FFT 是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道 FFT 之后
的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做 FFT。
现在就根据实际经验来说说 FFT 结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过 ADC 采样
之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我
就不在此啰嗦了。
采样得到的数字信号，就可以做 FFT 变换了。N 个采样点，经过 FFT 之后，就可以得
到 N 个点的 FFT 结果。为了方便进行 FFT 运算，通常 N 取 2 的整数次方。
假设采样频率为 Fs，信号频率 F，采样点数为 N。那么 FFT 之后结果就是一个为 N 点
的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具
体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为 A，那么 FFT 的结果的每个点
（除了第一个点直流分量之外）的模值就是 A 的 N/2 倍。而第一个点就是直流分量，它的
模值就是直流分量的 N 倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点
表示直流分量（即 0Hz），而最后一个点 N 的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这
里是假设的第 N+1 个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表
示采样频率 Fs，这中间被 N-1 个点平均分成 N 等份，每个点的频率依次增加。例如某点
n 所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn 所能分辨到频率为为
Fs/N，如果采样频率 Fs 为 1024Hz，采样点数为 1024 点，则可以分辨到
1Hz。1024Hz 的采样率采样 1024 点，刚好是 1 秒，也就是说，采样 1 秒时间的信号并
做 FFT，则结果可以分析到 1Hz，如果采样 2 秒时间的信号并做 FFT，则结果可以分析
到 0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和
采样时间是倒数关系。
假设 FFT 之后某点 n 用复数 a+bi 表示，那么这个复数的模就是 An=根号 a*a+b*b，
相位就是 Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出 n 点（n≠1，且 n<=N/2）
对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即 2*An/
N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于 n=1 点的信号，是直流分量，幅度即为 A1/N。由于 FFT
结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。
下面以一个实际的信号来做说明。假设我们有一个信号，它含有 2V 的直流分量，频率
为 50Hz、相位为-30 度、幅度为 3V 的交流信号，以及一个频率为 75Hz、相位为 90 度、
幅度为 1.5V 的交流信号。用数学表达式就是如下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-
pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中 cos 参数为弧度，所以-30 度和
90 度要分别换算成弧度。我们以 256Hz 的采样率对这个信号进行采样，总共采样 256 点。
按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是
1Hz，第 n 个点的频率就是 n-1。我们的信号有 3 个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分
别在第 1 个点、第 50 个点、第 76 个点上出现峰值，其它各点应该接近 0。实际情况如何
呢？我们来看看 FFT 的结果的模值如图所示。
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