FFT结果的物理意义
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2010-03-17
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FFT 结果的物理意义
FFT 是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是
很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这 就是很多信号
分析采用 FFT 变换的原因。另外，FFT 可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方
面也是经常用的。
虽然很多人都知道 FFT 是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道
FFT 之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做 FFT。
一个模拟信号，经过 ADC 采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，
采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。
采样得到的数字信号，就可以做 FFT 变换了。N 个采样点，经过 FFT 之后，
就可以得到 N 个点的 FFT 结果。为了方便进行 FFT 运算，通常 N 取 2 的整数
次方。
假设采样频率为 Fs，信号频率 F，采样点数为 N。那么 FFT 之后结果就是一
个为 N 点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率
值下的 幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值
为 A，那么 FFT 的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是 A
的 N/2 倍。 而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的 N 倍。而每个
点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即
0Hz），而最后一个点 N 的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假
设的第 N+1 个点，可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则
表示采样频率 Fs，这中间被 N-1 个点平均分成 N 等份，每个点的频率依次增
加。例如某点 n 所表示的频率为： 。由上面的公式可以看出，
Fn 所能分辨到频率为 Fs/N，如果采样频率 Fs 为 1024Hz，采样点数为 1024
点，则可以分辨到 1Hz。1024Hz 的采样率采样 1024 点，刚好是 1 秒，也就
是说，采样 1 秒时间的信号并做 FFT，则结果可以分析到 1Hz，如果采样 2 秒
时间的信号并做 FFT，则结果可以分析到 0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则
必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。假设
FFT 之后某点 n 用复数 a+bi 表示，那么这个复数的模就是 ，相位
就是 。根据以上的结果，就可以计算出 n 点（n≠1，且
n<=N/2）对应的信号的表达式为： ，即
。对于 n=1 点的信号，是直流分量，幅度即为
A1/N。由于 FFT 结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样
频率一半的结果。
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