ACM编程比赛入门题库

### ACM编程比赛入门题库知识点解析 #### 一、最少钱币数 **知识点解析：** - **动态规划：** 此题目可以通过动态规划的方法解决。动态规划是一种通过将原问题分解为相互重叠的子问题并自底向上解决这些子问题来解决问题的方法。在这个问题中，我们可以定义状态`dp[i]`表示凑成金额`i`所需的最少钱币数量。 - **状态转移方程：** 设`dp[i]`为凑成金额`i`所需的最少钱币数，那么对于每一种面值`v`，都有状态转移方程`dp[i] = min(dp[i], dp[i-v]+1)`。 - **初始化状态：** `dp[0] = 0`，表示凑成金额`0`所需的最少钱币数为`0`。 - **边界条件处理：** 如果某个金额无法用给定的钱币面值凑出，则在输出时需要特殊处理。 **示例代码结构：** ```python def min_coins(coins, amount): dp = [float('inf')] * (amount + 1) dp[0] = 0 for i in range(1, amount + 1): for coin in coins: if i >= coin: dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1) return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else "Impossible" ``` --- #### 二、Feli的生日礼物 **知识点解析：** - **数学性质：** 要找到`n!`的最后一位非零数字，可以考虑`n!`中5的因子个数比2的因子个数少。因此，`n!`末尾的零的个数主要由5的倍数决定。而最后一位非零数字与5的倍数无关，可以通过递归或循环的方式去除所有末尾的0。 - **除法和取模操作：** 在计算过程中，可以使用除法和取模运算来逐步消除末尾的0，并找到最后一位非零数字。 - **优化算法：** 通过观察和归纳可以发现规律性模式，从而减少计算量。 **示例代码结构：** ```python def last_non_zero_digit(n): if n == 0: return 1 last_digit = 1 while n > 0: if n % 10 in [0, 5]: n -= 5 continue last_digit *= (n % 10) last_digit %= 10 n //= 5 return last_digit ``` --- #### 三、蛇行矩阵 **知识点解析：** - **二维数组的应用：** 此题目可以通过构建一个二维数组来模拟蛇行矩阵的过程。 - **填充逻辑：** 对于每一行，需要根据行数的不同确定填充的方向。奇数行从左向右填充，偶数行从右向左填充。 - **计数器的使用：** 使用一个计数器变量来追踪当前应该填充的数字。 **示例代码结构：** ```python def snake_matrix(n): matrix = [[0] * i for i in range(1, n+1)] num = 1 for i in range(n): if i % 2 == 0: for j in range(i): matrix[i][j] = num num += 1 else: for j in range(i-1, -1, -1): matrix[i][j] = num num += 1 return matrix ``` --- #### 四、青蛙的约会 **知识点解析：** - **模拟算法：** 可以通过模拟两只青蛙跳跃的过程来解决此问题。具体来说，计算每只青蛙跳跃后的坐标，并判断是否会相遇。 - **数学推导：** 利用数学方法推导出两只青蛙是否会在某个时间点相遇的条件。 - **循环退出条件：** 设置合理的循环退出条件，避免无限循环。 **示例代码结构：** ```python def frog_meet(x, y, m, n, L): time = 0 while True: x = (x - m) % L y = (y - n) % L time += 1 if x == y: return time if time > L: return "Impossible" ``` --- #### 五、敲七 **知识点解析：** - **字符串处理：** 可以通过将数字转换为字符串来判断该数字是否包含数字7。 - **循环遍历：** 遍历从1到N的所有数字，并判断每个数字是否符合条件。 - **数字和字符串的转换：** 利用Python中的`str()`函数进行数字和字符串的转换。 **示例代码结构：** ```python def print_sevens(N): for i in range(1, N + 1): if '7' in str(i) or i % 7 == 0: print(i) ``` --- #### 六、连续邮资问题 **知识点解析：** - **动态规划：** 此题目同样可以通过动态规划的方法解决。关键在于确定状态和状态转移方程。 - **邮票组合的可能性：** 考虑到每张信封最多只允许贴m张邮票，因此需要对邮票的组合进行限制。 - **边界条件处理：** 当无法达到某些金额时需要特殊处理。 **示例代码结构：** ```python def consecutive_postage(n, m, stamps): dp = [False] * (n + 1) dp[0] = True for i in range(1, n + 1): for stamp in stamps: if i >= stamp and dp[i - stamp]: dp[i] = True break # 检查是否超过最大邮票数 if sum([1 for s in stamps if i >= s and dp[i-s]]) > m: dp[i] = False return dp ``` 以上是对题库中部分题目进行的知识点解析和技术要点总结。