高等数学 微分中值定理与导数的应用 东北大学出版

《高等数学：微分中值定理与导数的应用》一书中，主要探讨了微分学中的核心概念和定理，这些理论对于理解和应用导数至关重要。本章首先介绍了微分中值定理，包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒公式，这些都是导数应用的基础。 微分中值定理揭示了导数与函数之间深刻的几何关系。以罗尔中值定理为例，如果函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且满足边界条件f(a) = f(b)，那么至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = 0。这个定理在寻找函数极值点、证明不等式等方面有着广泛应用。 罗尔中值定理的几何解释是，如果一个连续光滑函数在区间端点的函数值相等，那么在这两点之间的曲线上至少有一点，其切线平行于x轴。这是微分学中一个基本的过渡性定理，连接了函数的连续性、可导性和导数值。 拉格朗日中值定理进一步扩展了罗尔中值定理，它表明如果函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么对任意f(a) ≠ f(b)，都存在ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = [f(b) - f(a)] / (b - a)。这个定理在证明导数与函数性质之间的联系时非常有用。 柯西中值定理是微积分中的另一个重要定理，它是罗尔中值定理和积分学的结合，对于两个连续可微的函数f(x)和g(x)，如果在闭区间[a, b]上满足g'(x) ≠ 0，那么至少存在一点ξ∈(a, b)，使得(f/g)'(ξ) = [f(b) - f(a)] / [g(b) - g(a)]。这个定理在处理含有两个变量的导数问题时非常有效。 泰勒公式则是将复杂的函数用多项式近似表示，特别地，当我们只取一次导数时，泰勒公式就简化成了线性逼近，即拉格朗日插值公式。这对于函数的数值计算和解析研究都具有重要意义。 除了这些中值定理，书中还讲解了如何利用导数判断函数的单调性和凹凸性，以及如何寻找函数的极值点和拐点。通过对导数的符号变化分析，我们可以确定函数的增减区间，从而找到可能的极值点。此外，导数还可以用来确定函数图形的凹凸性，即如果二阶导数大于0，函数在该点附近是凹的；如果二阶导数小于0，函数是凸的。 《高等数学：微分中值定理与导数的应用》一书深入探讨了微分学的核心理论，这些内容不仅是学习数学的基础，也是许多科学和工程领域中解决问题的关键工具。通过理解并熟练应用这些定理，我们可以更好地理解和解决复杂问题，尤其是在优化、物理、经济等领域。