高等数学 导数与微分 东北大学
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2022-12-02
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第 2 章 导数与微分
微分学是高等数学的重要组成部分，其基本内容是导数和微分.本章主要介绍导数和微
分的概念，及其计算公式和运算法则，从而为导数的应用以及积分学部分的学习打下良好的
基础.
2.1 导数的概念 视频讲解 2-1
2.1.1 问题的提出
1．变速直线运动的瞬时速度
在引言中给出过求变速直线运动的瞬时速度的方法，在这里回顾一下.
设一物体作变速直线运动，已知位移随时间的变化规律为
( )
s ft=
. 由于物体的运动速
度是随时间不断变化的，要精确地研究物体的运动规律，必须计算它在运动过程中每一时刻
的速度，就是所谓瞬时速度.
如果物体作匀速直线运动，那么任一时刻的速度都等于经过的路程与所花的时间的比值，
但对于变速直线运动的速度，该公式就不再适用了，因为不同的时间间隔内会有不同的比值.
那么变速直线运动速度应如何求呢？
取从时刻
0
t
到时刻
t
这样一个时间间隔段，在这段时间内物体经过的路程为
00
() ( )s s ft ft−= −
，
比值
00
00
() ( )s s ft ft
tt tt
−−
=
−−
，
可以看成是
0
tt−
时间内的平均速度.如果
0
tt−
很小，在这段时间内，运动可以近似地看成
是均匀的，因而可以用
0
0
() ( )ft ft
tt
−
−
来近似代替
0
t
时刻的速度
0
v
.
0
tt−
越小，近似程度越高，
但不论
0
tt
−
多小，这个平均速度总是近似值，而不是精确值.为了得到精确值，令
0
tt−
趋
于 0，即让
t
无限地接近
0
t
，
0
0
() ( )ft ft
tt
−
−
则无限地接近
0
t
时刻的瞬时速度
0
v
，如果
0
0
0
() ( )
lim
tt
ft ft
tt
→
−
−
存在，则该极限称为变速直线运动的物体在
0
t
时刻的瞬时速度，即
0
0
0
0
() ( )
lim
tt
ft ft
v
tt
→
−
=
−
.
（2.1）
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