东南大学数值分析偏微分方程数值解法 (1).pdf
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2022-11-02
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第七章 偏微分方程数值解法
——Crank-Nicolson 格式
****（学号） *****（姓名）
上机题目要求见教材 P346,10 题。
一、算法原理
本文研究下列定解问题(抛物型方程)
u
2
u
t
a
x
2
f (x,t) (0 x l,0 t T )
u(x,0)
(x) (0 x l)
u(0, t)
(t), u(1,t)
(t) (0 t T )
(1)
的有限差分法，其中
a
为正常数，
f ,
,
,
为已知函数，且满足边界条件和初始
条件。关于式(1)的求解，采用离散化方法，剖分网格，构造差分格式。其中，
网格剖分是将区域 D
0 x l,0 t T
用两簇平行直线
x x
i
ih (0 i M )
t t k
(0 k N )
k
l T
分割成矩形网格，其中
h ,
分别为空间步长和时间步长。将式(1)中的
M N
偏导数使用不同的差商代替，将得到不同的差分格式，如古典显格式、古典隐格
式、Crank-Nicolson 格式等。其中，Crank-Nicolson 格式具有更高的收敛阶数，
应用更广泛，故本文采用 Crank-Nicolson 格式求解抛物型方程。
Crank-Nicolson格式推导：在节点
(x
i
,t
k
)
处考虑式(1)，有
2
对偏导数
u
2
u
(x
i
,t
k
) a
2
(x
i
,t
k
) f (x
i
,t
k
)
t 2 x 2 2
(2)
u
(x
i
,t
k
)
用中心差分展开
t 2
u
1
2
3
u
(x
i
,
i
k
) ( t
k
i
k
t
k +1
)
(3)
(x
i
,t
k
)
u( x
i
,t
k 1
) u(x
i
,t
k 1
)
3
t 2
24 t
2
u
将
2
(x
i
,t
k
)
在节点
(x
i
,t
k
)
和
(x
i
,t
k 1
)
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