2020年高三数学高考重点难点讲解：数列的通项与求和.doc
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2021-10-12
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难点 13 数列的通项与求和
数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数 n 的函数，
是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，
而数列的前 n 项和 Sn 可视为数列{Sn}的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题
之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的
动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法.
●难点磁场
(★★★★★)设{an}是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn，并且对于所有的自然数 n，an 与 2
的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项.
(1)写出数列{an}的前 3 项.
(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)
(3)令 bn=
)(
2
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
(n∈N*)，求
lim
n
(b1+b2+b3+…+bn－n).
●案例探究
［例 1］已知数列{an}是公差为 d 的等差数列，数列{bn}是公比为 q 的(q∈R 且 q≠1)的等比数
列，若函数 f(x)=(x－1)2，且 a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}的前 n 项和为 Sn，对一切 n∈N*，都有
n
n
c
c
b
c
b
c
2
1
1
1
=an+1 成立，求
lim
n
n
n
S
S
2
12
.
命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前 n 项和公式、数列的极限，以及运
算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边
可视为某数列前 n 项和，实质上是该数列前 n 项和与数列{an}的关系，借助通项与前 n 项和的
关系求解 cn 是该条件转化的突破口.
错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量 a1、b1、d、q，计算不准易
出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.
技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造
新数列{dn}，运用和与通项的关系求出 dn，丝丝入扣.
解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，
∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，
∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又 b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，
∴
2
2
1
3
)2(
q
q
b
b
=q2，由 q∈R，且 q≠1，得 q=－2，
∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1
(2)令
n
n
b
c
=dn，则 d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*),
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