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20092020
年高考预测:数列考点预测
一、考点介绍
数列是高中数学的重点内容之一 ,也是高考考查的热点。高考中着重考查运算能力、
逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。其中,选择题、填空题突出“小、巧、活”的
特点,而解答题多以中、高档题目出现。透析近几年高考试题,估计 20092020
年高考关
于数列的考查热点为:等差,等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公式的应用;
利用数列的前 n 项和 与通项 的关系解题;数列的求和问题;递推数列问题;数列应
用问题;数列与函数、三角、不等式的综合问题;数列与平面解析几何的综合问题,等等。
主要考点有:
1.数列的概念和简单表示法
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).
(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数.
2.等差数列、等比数列
(1) 理解等差数列、等比数列的概念.
(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式.
(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相
应的问题.
(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
二、考点题型预测
考点一:等差数列和等比数列的基本问题
例 1 设 是 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 , 若 , , 则
( )
A. B. C. D.
分析:本题考查等差中项、通项公式的简单应用。
解析:B
1 2 3 2 2
15 3 15 5a a a a a
,
1 2 3 2 2 2
80 80a a a a d a a d
,
将
2
5a
代入,得
3d
,从而
11 12 13 12 2
3 3 10 3 5 30 105a a a a a d
例 2 设等比数列
{ }
n
a
的公比
2q
,前 n 项和为
n
S
,则
4
2
S
a
( )
A. 2 B. 4 C.
15
2
D.
17
2
分析:本题考查等比数列的前
n
项和公式、通项公式的简单应用,是一道容易题,只要熟
悉等比数列的两个基本公式,解答本题困难不大,但也要注意运算的准确性。
第
1
页 共
17
页用心 爱心 专心
解析:C
4
1
4
2 1
1 2
15
1 2
2 2
a
S
a a
。
考点二:简单的递推数列
例 3 在数列
{ }
n
a
中,
1
2a
,
1
1
ln(1 )
n n
a a
n
,则
n
a
A.
2 ln n
B.
2 ( 1) lnn n
C.
2 lnn n
D.
1 lnn n
分析:本题考查简单的递推数列通项公式的求法,采用的是“归纳递推法”,本题也可以将
递推式变形为
1
1
ln(1 ) ln 1 ln
n n
a a n n
n
后,用“迭加”的方法解决。在递推数列
中这个题属于基本类型,是高考命题的一个基本着眼点,考生要熟练掌握这类递推数列通
项公式的解决方法。
解析:
A
2 1
1
ln(1 )
1
a a
,
3 2
1
ln(1 )
2
a a
,…,
1
1
ln(1 )
1
n n
a a
n
1
2 3 4
ln( )( )( ) ( ) 2 ln
1 2 3 1
n
n
a a n
n
。
点评:不明确方法就不会解,变形错误就得出错误的结果,在
1n
和
n
之间混淆也会出错,
如 本 题 在 用 “ 迭 加 ” 方 法 解 决 的 时 候 , “ 迭 加 ” 的 是
2 1 1
ln 2 ln1, , ln ln 1
n n
a a a a n n
这
1n
个等式,不是
n
个等式,在解决递推数列问题时,开始的部分和结束的部分要辨别
清楚,不然就就会出错。
例 4 在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成
若干准“正三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层, 就一个乒乓球;第 2、3、4、
…堆最底层(第一层)分别按右图所示方式固定摆放 .从第一层
开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一
个乒乓球,以 表示第 n 堆的乒乓球总数,则 ;
(答案用 n 表示).
分析:本题主要考查递推数列通项公式的求法,采用的是“归纳递推法”,先从 第一堆、第
第
2
页 共
17
页用心 爱心 专心
二堆、第三堆的乒乓球,归纳总结出第 n 堆乒乓球的个数 的通项公式,要求能认真
审题,注意乒乓球是堆成“正三棱锥”形的,不是平面的,不然就会出错。
解析:10;
的规律由 ,所以
所以
考点三:数列与函数、三角、不等式综合问题
例 5 已知函数 f(x)= (x<-2)
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(1)求 f(x)的反函数 f
-
-
1
(x);
(2)设 a
1
=1, =-f
-
-1
(a
n
)(n∈N
*
),求 a
n
;
(3)设 S
n
=a
1
2
+a
2
2
+…+a
n
2
,b
n
=S
n+1
-S
n
是否存在最小正整数 m,使得对任意 n∈N
*
,有 b
n
<
成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由
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分析:本题是一道与函数、数列有关的综合性题目,着重考查学生的逻辑分析能力
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本
题融合了反函数,数列递推公式,等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一
炉,结构巧妙,形式新颖,是一道精致的综合题
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错解分析
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本题首问考查反函数,反函数的定义域是原函数的值域,这是一个易错点,
(2)问以数列{ }为桥梁求 a
n
,不易突破
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技巧与方法
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(2)问由式子 得 =4,构造等差数列{ },从
而求得 a
n
,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧;(3)问运用了函数的思想
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第
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解
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(1)设 y= ,∵x<-2,∴x=- , 即 y=f
-
-1
(x)=- (x>0)
(2)∵ , ∴{ }是公差为 4 的等差数列,
∵a
1
=1, = +4(n-1)=4n-3, ∵a
n
>0, ∴a
n
=
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(3)b
n
=S
n+1
-S
n
=a
n+1
2
= ,由 b
n
< ,得 m> ,
设 g(n)= ,∵g(n)= 在 n∈N
*
上是减函数,
∴g(n)的最大值是 g(1)=5,
∴m>5,存在最小正整数 m=6,使对任意 n∈N
*
有 b
n
< 成立
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例 6 已知 , ,数列 满足 ,
, .
(Ⅰ)求证:数列 是等比数列;
(Ⅱ)当 n 取何值时, 取最大值,并求出最大值;
(III)若 对任意 恒成立,求实数 的取值范围.
分析:本题是一道与函数、数列、不等式有关的综合性题目,着重考查学生的分析、审题
能力
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本题立意比较新,在证明一个数列是否是等比数列时,只能利用定义,并且还要注意
首项是否为 0;同时还考查了分类讨论思想的方法。
解:(I)∵ , , ,
∴ . 即 .
又 ,可知对任何 , ,所以 .
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