空间向量是高中数学中的重要概念，特别是在解决三维几何问题时具有极大的实用性。专题10主要探讨了空间向量的基本运算及其在解决几何问题中的应用。
向量的数乘运算涉及到实数与向量的乘积。当实数λ乘以向量a时，得到的新向量λa的方向取决于λ的符号：λ>0时，方向与a相同；λ<0时，方向与a相反。此外，λa的长度是a长度的λ倍。数乘运算还遵循分配律和结合律，使得向量运算更加规范。
空间向量的数量积是向量之间的一种运算，它给出了向量之间的角度信息。数量积定义为两个非零向量a和b的模长乘积与它们夹角余弦的乘积，记作a·b。数量积具有以下性质：如果两个向量垂直（即夹角为90度），那么它们的数量积为0；如果同向，则数量积等于它们模长的乘积；如果反向，则数量积等于它们模长乘积的负值。数量积还满足交换律和分配律，并且有模长平方等于向量自身的数量积这一特性。
向量的坐标表示是将向量与坐标轴上的分量关联起来的方法。给定向量a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，它们的加减运算和数乘运算可以通过坐标直接计算。此外，通过比较坐标可以判断两个向量是否平行或垂直。
空间向量的基本定理指出，任何空间向量都可以由三个不共面的向量线性表示，这为解决空间几何问题提供了理论基础。例如，要表示一个未知向量OG，可以选择一组基底向量，如OA，OB，OC，并找到相应的系数来构建OG。
在求平面的法向量时，法向量垂直于平面内的所有向量。可以使用方程法或双0速算法来确定。平面的法向量通常表示为平面内两个不共线向量的叉积。
判断点是否共面或向量是否共面，可以通过向量共面定理来进行。如果四个点A, B, C, D共面，那么存在一组实数，使得向量AB、AC、AD能线性表示为其他向量的组合。同样，向量共面也可以通过类似的向量线性表示来证明。
在实际应用中，如例题所示，这些问题可能涉及用已知向量表示未知向量、求解平面法向量以及证明点或向量共面等。掌握这些基本概念和方法，对于解决复杂的空间几何问题至关重要。通过寒假作业的练习，学生可以深入理解并熟练运用空间向量及其运算，提高解题能力。
