这份文档是针对高一学生的一份数学寒假作业，主要涵盖了平面向量线性运算的应用。以下是对题目涉及知识点的详细解释：
1. 平面向量的加法与减法：题目中的向量关系如，表示向量之间的加减运算，这涉及到向量的平行四边形法则和三角形法则。
2. 向量的数量积（点积）：例如题目中出现的，这是向量的数量积，其结果是一个标量，可用来判断两个向量是否垂直或者计算两向量的夹角。
3. 平行四边形法则：在问题2中，通过向量关系推断图形形状，需要用到平行四边形法则，若两个相邻边的向量相等，则四边形是平行四边形。
4. 矩形的性质：在问题6中，由于给出的是矩形，矩形的对角线互相平分，可以利用这一性质解决相关问题。
5. 中点坐标公式：问题8和11中，涉及到了中点坐标公式，它用于求解线段中点的坐标。
6. 向量的线性组合：问题4中，通过向量的线性组合来确定点的位置。
7. 圆的性质：问题6和7中，点在以定点为圆心的圆上运动，圆的半径与向量有关，这涉及到圆的几何性质和向量的长度。
8. 等边三角形的识别：问题3中，通过向量的性质判断三角形是否为等边三角形。
9. 梯形的性质：问题5中，直角梯形的中位线性质被用到，中位线等于上底加下底的一半。
10. 向量的投影：问题10中，向量的投影用于计算线段长度。
11. 直角坐标系中的向量运算：问题14和15中，向量的坐标形式和向量的运算结合，求解点的坐标和图形面积。
12. 平行四边形的对角线性质：问题12中，平行四边形的对角线互相平分，可以用来计算长度。
13. 正方形的性质：问题13中，正方形的对角线相等且互相垂直，可以据此求解相关问题。
14. 方程的解法：在问题14中，通过解含有向量的方程找到点的坐标。
15. 矩形的面积计算：问题15中，涉及矩形的面积计算，需要理解矩形的面积公式并进行坐标变换。
以上就是这些数学问题所涵盖的平面向量线性运算及其应用的知识点。这些题目旨在训练学生的向量运算能力，理解和应用向量在几何问题中的作用，同时也涉及了平面几何的一些基本概念和性质。解答这些问题需要对向量的基本运算、几何意义和相关定理有深入的理解。
