非线性方程组求解的牛顿迭代法用MATLAB实现.pdf
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2022-11-20
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1. 二元函数的 newton 迭代法理论分析
设
z f (x, y)
在点
(x
0
, y
0
)
的某一邻域内连续且有直到 2 阶的连续偏导
数，
(x
0
h, y
0
h)
为该邻域内任意一点，则有
f (x
0
h, y
0
k) f (x
0
, y
0
)
h f (x, y)
xx
0
k f (x, y)
y
x
y y
0
其中
h x x
0
，
k y y
0
于是方程
f (x, y) 0
可近似表示为
f (x
k
, y
k
)
h f (x, y)
xx
k
k f (x, y)
y
x
y y
k
0
即
f (x
k
, y
k
) (x x
k
) f
x
(x
k
, y
k
) ( y y
k
) f
y
(x
k
, y
k
) 0
同理，设
z g(x, y)
在点
(x
0
, y
0
)
的某一邻域内连续且有直到 2 阶的连续
偏导数，
(x
0
h, y
0
h)
为该邻域内任意一点，亦有
g(x
0
h, y
0
k) g(x
0
, y
0
)
h g(x, y)
xx
0
k g(x, y)
y y
0
y
x
其中
h x x
0
，
k y y
0
于是方程
g(x, y) 0
可近似表示为
g(x
k
, y
k
)
h g(x, y)
xx
k
k g(x, y)
y
x
y y
k
0
即
g(x
k
, y
k
) (x x
k
)g
x
(x
k
, y
k
) ( y y
k
)g
y
(x
k
, y
k
) 0
于是得到方程组
f (x
k
, y
k
) (x x
k
) f
x
(x
k
, y
k
) ( y y
k
) f
y
(x
k
, y
k
) 0
g(x , y ) (x x )g (x , y ) ( y y )g (x , y ) 0
k k k x k k k y k k
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