没有合适的资源?快使用搜索试试~ 我知道了~
偏微分方程-matlab.docx
1.该资源内容由用户上传,如若侵权请联系客服进行举报
2.虚拟产品一经售出概不退款(资源遇到问题,请及时私信上传者)
2.虚拟产品一经售出概不退款(资源遇到问题,请及时私信上传者)
版权申诉
0 下载量 114 浏览量
2022-11-15
21:21:44
上传
评论
收藏 1.79MB DOCX 举报
温馨提示
试读
33页
。。。
资源推荐
资源详情
资源评论
基础知识
偏微分方程的定解问题
各种物理性质的定常(即不随时间变化)过程,都可用椭圆型方程来描述。其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)
方程
u u
2
2
u
f (x, y)
(1)
x y
2
2
特别地,当 f ( x, y) ≡ 0 时,即为拉普拉斯(Laplace)方程,又称为调和方程
u u
2
2
u
0
(2)
x
2
y
2
带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布,不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。
Poisson 方程的第一边值问题为
2
u
2
u
u
f (x, y) (x, y)
x y
2
2
(3)
u(x, y)
(x, y)
(x, y)
其 中 Ω 为 以 Γ 为 边 界 的 有 界区 域 , Γ 为 分 段 光 滑 曲 线, Ω U Γ 称 为 定 解区 域 ,f (x, y), (x, y) 分
别为 Ω,Γ 上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示成
u
u
0 (a 0)
(4)
n
(x,y)
其中 n 为边界 Γ 的外法线方向。当α = 0 时为第二类边界条件,α ≠ 0 时为第三类边界条件。
在研究热传导过程,气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时,常常会遇到抛物型方程。其最
简单的形式为一维热传导方程
u
t
u
2
a
0 (a 0)
(5)
x
2
方程(5)可以有两种不同类型的定解问题:
初值问题(也称为 Cauchy 问题)
2
u
u
0 t 0, x
a
x
2
(6)
t
u(x,0) (x)
x
初边值问题
2
u
u
a
0 0 t T,0 x l
t
x
2
(x,0) (x)
u
(7)
u(0,t) g (t),u(l,t) g (t), 0 x l
1
2
(x),g (x),g (x)
其中ϕ
(0)
为已知函数,且满足连接条件
1
2
g
(0),( ) (0)
l g
1
2
(0,t) g (t),u(l,t) g (t)
问题(7)中的边界条件u
称为第一类界条件。第二类和第三类边界条件为
1
2
u
( )
t u
g (t),0 t T
x
1
1
x0
xl
(8)
u
( )
t u
g (t),0 t T
x
2
2
0, 0
0
其中
。当
时,为第二类边界条件,否则称为第三类边界条件。
1
2
1
双曲型方程的最简单形式为一阶双曲型方程
2
u
t
u
x
a
0
(9)
物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程
u
u
2
2
a
(10)
t
x
2
2
描述,它是双曲型方程的典型形式。方程(10)的初值问题为
u
u
2
2
a
0 t, x
x
t
x
2
2
(x,0) (x)
u
(11)
u
( )
x
x
t
t0
边界条件一般也有三类,最简单的初边值问题为
2
u
2
u
a
0 t,0 x l
t
x
2
2
u
t
u(x,0) x
( )
( )
x
0
x l
t0
u(0,t) g (t),u(l,t) g (t)
0 t T
1
2
如果偏微分方程定解问题的解存在,唯一且连续依赖于定解数据(即出现在方程和定解条件
中的已知函数),则此定解问题是适定的。可以证明,上面所举各种定解问题都是适定的。
§2 偏微分方程的差分解法
差分方法又称为有限差分方法或网格法,是求偏微分方程定解问题的数值解中应用最广泛的
方法之一。它的基本思想是:先对求解区域作网格剖分,将自变量的连续变化区域用有限离
散点(网格点)集代替;将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数
代替;通过用网格点上函数的差商代替导数,将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含
有限个未知数的代数方程组(称为差分格式)。如果差分格式有解,且当网格无限变小时其
解收敛于原微分方程定解问题的解,则差分格式的解就作为原问题的近似解(数值解)。因
此,用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题:
(i)选取网格;
(ii)对微分方程及定解条件选择差分近似,列出差分格式;
(iii)求解差分格式;
(iv)讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。
下面我们只对偏微分方程的差分解法作一简要的介绍。
2.1 椭圆型方程第一边值问题的差分解法
以 Poisson 方程(1)为基本模型讨论第一边值问题的差分方法。
考虑 Poisson 方程的第一边值问题(3)
u u
2
2
f (x, y) (x, y)
x y
2
2
u(x, y)
(x, y)
(x, y)
x x kh, y y j
取 h,τ 分别为 x 方向和 y 方向的 步长, 以两 族平行 线
k
j
(k, j 0,1,2,�)
将 定 解 区 域 剖 分 成 矩 形 网 格 。 节 点 的 全 体 记 为
R {(x , y ) | x kh, y j , i, j
为整数} 。定解区域内部的节点称为内点,记内点集
。边界Γ与网格线的交点称为边界点,边界点全体记为 Γ 。与节点
k
k
k
j
R �
为
τ
h
h
(x , y )
(x , y )
(x , y )
(x , y )
称为节点
沿 x 方向或 y 方向只差一个步长的点
和
k
j
k 1
j
k
j1
k
j
的相邻节点。如果一个内点的四个相邻节点均属于ΩU Γ,称为正则内点,正则内点的全
体记为Ω ,至少有一个相邻节点不属于ΩU Γ 的内点称为非正则内点,非正则内点的全
(1)
体记为Ω 。我们的问题是要求出问题(3)在全体内点上的数值解。
(2)
(k, j) (x y ),u(k, j) u(x , y ), f f (x , y )
为 简 便 记 , 记
。 对 正 则 内 点
k
j
k
j
k, j
k
j
(k, j)
(1)
,由二阶中心差商公式
u
u(k 1, j) 2u(k, j) u(k 1, j)
2
O(h )
2
x
2
h
2
(k, j)
u
u(k, j 1) 2u(k, j) u(k, j 1)
2
O(
)
2
y
2
2
(k, j)
Poisson 方程(1)在点
(k, j)
处可表示为
u
2u u
u
2u u
k 1, j
k, j
k 1, j
k, j1
k, j
k, j1
h
2
2
(12)
f O(h
)
2
2
k, j
(h )
在式(12)中略去O
2
,即得与方程(1)相近似的差分方程
2
u
2u u
u
2u u
f
k 1, j
k, j
k 1, j
k, j1
k, j
k, j1
(13)
h
2
2
k j
,
式(13)中方程的个数等于正则内点的个数,而未知数
, 则除了包含正则内点处
u
k, j
解 u 的近似值,还包含一些非正则内点处u 的近似值,因而方程个数少于未知数个数。在非
正则内点处 Poisson 方程的差分近似不能按式(13)给出,需要利用边界条件得到。
边界条件的处理可以有各种方案,下面介绍较简单的两种。
(i) 直接转移
(ii) 线性插值
由式(13)所给出的差分格式称为五点菱形格式,实际计算时经常取h =τ ,此时
五点菱形格式可化为
4u f
k, j k, j
1
u
u
f
u
u
(14)
h
2
k 1, j
k 1, j
k, j1
k, j1
简记为
1
u
(15)
h
2
k, j
k, j
u
u
u
u
4u
其中 u
。
k, j
k 1, j
k 1, j
k, j1
k, j1
k, j
求解差分方程组最常用的方法是同步迭代法,同步迭代法是最简单的迭代方式。除
边界节点外,区域内节点的初始值是任意取定的。
例 1 用五点菱形格式求解 Laplace 方程第一边值问题
2
u
2
u
0
(x, y)
x y
2
2
u(x, y)
lg (1 x)
y
2
2
(x, y)
1
其中
{(x, y) | 0 x, y 1}
。取
h
。
3
当 h 时,利用点(k, j),(k ±1, j .1),(k ±1, j +1)构造的差分格式
4u f
k, j k, j
1
u
u
u
u
(16)
2h
2
k 1, j1
k 1, j1
k 1, j1
k 1, j1
称为五点矩形格式,简记为
1
u f
k, j
(17)
2h2
k, j
u u
k, j
u
u
u
4u
其中
。
k 1, j1
k 1, j1
k 1, j1
k 1, j1
k, j
2.2 抛物型方程的差分解法
以一维热传导方程(5)
u
t
u
2
a
0 (a 0)
x
2
为基本模型讨论适用于抛物型方程定解问题的几种差分格式。
首先对 xt 平面进行网格剖分。分别取 h,τ 为 x 方向与 t 方向的步长,用两族平行直
x x kh
t t j
线
(k = 0,±1,±2,…) ,
k ( j = 0,1,2, …),将 xt 平面剖分成矩形网
k
j
(x , y )
(k, j) (x , y ),
格,节点为
(k = 0,±1,±2, …, j = 0,1,2, …)。为简便起见,记
k
j
k
j
u(k, j) u(x , y ), (x ), g g (t ), g g (t ), (t ),
k
j
k
k
1 j
1
j
2 j
2
j
1 j
1
j
2 j
(t )
。
2
j
2.2.1 微分方程的差分近似
u
在网格内点(k, j)处,对
t
u
2
分别采用向前、向后及中心差商公式,对
采用二
x
2
阶中心差商公式,一维热传导方程(5)可分别表示为
u(k, j 1) u(k, j)
u(k 1, j) 2u(k, j) u(k 1, j)
a
O( h )
2
h
2
u(k, j) u(k, j 1)
u(k 1, j) 2u(k, j) u(k 1, j)
a
O( h )
2
h
2
u(k, j 1) u(k, j 1)
2
u(k 1, j) 2u(k, j) u(k 1, j)
a
O( h )
2
h
2
由此得到一维热传导方程的不同的差分近似
u
u
u
u
2u u
a
a
0
0
k, j1
k, j
k 1, j
k, j
k 1, j
(18)
(19)
h
2
u u
2u u
k, j
k, j1
k 1, j
k, j
h
2
k 1, j
u
u
u
2u u
a
0
k, j1
k, j1
k 1, j
k, j
k 1, j
(20)
2
h
2
2.2.2 初、边值条件的处理
为用差分方程求解定解问题(6),(7)等,还需对定解条件进行离散化。
剩余32页未读,继续阅读
资源评论
春哥111
- 粉丝: 1w+
- 资源: 5万+
上传资源 快速赚钱
- 我的内容管理 展开
- 我的资源 快来上传第一个资源
- 我的收益 登录查看自己的收益
- 我的积分 登录查看自己的积分
- 我的C币 登录后查看C币余额
- 我的收藏
- 我的下载
- 下载帮助
安全验证
文档复制为VIP权益,开通VIP直接复制
信息提交成功