最小二乘法对图像去噪
1. 实验目的
最小二乘法是一个很实用，也很基础的算法，应用的场景十分的广泛和普遍，最常用的
地方就是机器学习了，通过最小二乘，来进行分类/回归，还有曲线拟合。
本文通过最小二乘法对图像像素点进行拟合，通过拟合曲线去去除图像中的椒盐噪声，
实现还原照片的目的，并与中值滤波去除图像椒盐噪声做对比。
2. 最小二乘法介绍
对于给定的数据
� �
),.....,1,0(, miyx
ii
�
，在取定的假设空间 H 中，求解 h(x)∈H，使得残
差
iii
yxh �� )(r
的 2-范数最小，即
�
�
��
m
i
ii
yxhx
1
2
))((min)(h
从几何上讲，就是寻找与给定点
� �
),.....,1,0(, miyx
ii
�
距离平方和最小的曲线 y=h(x)。h(x)称
为拟合函数或者最小二乘解，求解拟合函数 h(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
一般情况下，h(x)是一条多项式曲线：
n
n
xwxwxwwwx ����� ...),(h
2
210
这里 h(x,w)是一个 n 次多项式，w 是其参数。
也 就 是 说 ， 最 小 二 乘 法 就 是 要 找 到 这 样 一 组
),...,,(w
10 n
www�
， 使 得
�
�
�
m
i
ii
yxh
1
2
))((min
最小。
假设我们的拟合函数是一个线性函数，即：
xwwwxh
10
),( ��
（当然，也可以是二次函数，或者更高维的函数，这里仅仅是作为求解范例，所以采用了最
简单的线性函数）
