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计算机组成原理之原补码的乘法运算

计算机组成原理

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计算机组成原理之原补码的乘法运算

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一、原码乘法运算
（1）手算乘法
1.十进制乘法
2.二进制乘法
3.一些问题
（2）机器实现
1.案例
2.确定符号位
3.绝对值相乘的机器实现
4.补充说明
（3）手算模拟原码一位乘法
二、补码乘法运算
（1）原码与补码
（2）补码乘法运算的硬件构成
（3）手算模拟
三、回顾

一、原码乘法运算  
经过之前小节的学习，我们已经知道了定点数的加法、减法，还有移位运算如何实现。
这小节中我们要学习定点数的原码乘法如何实现。
这一小节中，我们会首先探讨乘法运算的实现思想，介绍原码的移位乘法如何实现。最后还会介绍
补码的一位乘法如何实现。
（1）手算乘法  
1.十进制乘法  
首先来看一下大家比较熟悉的 十进制的乘法 。
回忆一下小学时候如何做一个乘法运算的。比如 0. 985 乘以 0. 211，如果算上小数点之前的0，这
两个数都是4位，都有 4 个数码位。
首先是 1 乘以985，把它写在下面。 
接下来还有一个 1 乘以985，但是这一次的 985 要和上一个 985 进行一个错位，相对于上一个 985 
来说，要往前移一位。

最后2乘以 985 应该是等于1970，同样的， 1970 的最后一位又要比上一个 985 再往前挪了一位。

每一个数码位进行乘法运算得到的结果，我们是把它们错位地排列在一起的。最后我们会把它进行

一个相加，得到这样的结果。

最后小学老师会告诉我们如何处理小数点。小时候老师教我们的做法是从最后位置往前数 6 位就到

了 2 的前边，所以小数点最终确定在 2 的前面。如下：

这就是 0. 985 乘以 0. 211 的一个手算方式。

这是我们小学时候学过的东西，现在的问题是这样的，不知道大家有没有思考过，为什么我们在写

这些每一位乘得的结果的时候，都要错位得把它们写在一起。

其实这个原因可以结合我们之前介绍过的 r 进制的数值的定义来进行理解。

0.211 这个数我们可以把它看作是 2 乘以 10 的-1 次方，加上 1 乘以 10 的-2次方，再加上 1 乘以

10 的-3次方。 0. 985 我们不妨把它看作是 985 乘以 10 的-3 次方。如下：

所以这两个数相乘，我们可以把它拆分成这样的形式：

985 乘以 10 的-3 次方，再乘以 1 乘 10 的 -3 次方，也就是 985 乘以 1 乘 10 的-6 次方。

这一项再加上 985 乘 1 再乘以 10 的-5 次方。也就是和这儿的第二项的一个结合，最后这项也是一

样的。

所以其实这个式子如果我们把中间加和的这些部分给它扩展一下，其实它是长这个样子。

985 乘以1，再乘以 10 的- 6 次方，就相当于 985 从这个位置小数点往前移 6 位。

985 乘以1，再乘以 10 的- 5 次方，就相当于从 985 数这儿把小数点往前挪 5 位。最后这个数也是

一样的， 985 乘以 2 等于 1970。本来小数点在 0 的后面，乘了一个 10 的-4，就相当于往前挪4位。

所以我们最终要给这几个小数进行一个加和。

是不是得保证这个小数点是相互对齐的，而小数点相互对齐，就会导致我们后边这些数有这样的一

个错位。

所以这就是为什么我们小时候学的乘法，需要把每一位的位积进行一个错位的原因，这才是它的本

质。

2.二进制乘法

这是我们熟悉的十进制乘法，接下来我们把这种乘法的思想迁移到二进制的乘法。

同样先来看手算的方式。

假如有这样的两个二进制数的相乘，比如两个定点的正小数进行相乘，并且每个定点数占 5 位，类

似于十进制 0. 985 乘以 0. 211 的乘法。

首先我们应该用乘数的最低位（1）乘上被乘数，得到的结果应该是1101。

再用乘数的下一位（次第位）乘以被乘数，得到的结果同样是1101，不过我们要把它往前挪一位，

进行一个错位。

接下来 0 乘以被乘数，得到结果应该是 0000。

最后是 1 乘以这个被乘数，得到结果是1101。把它们错位并且依次相加之后，可以得到这样的一个

结果。如下：

接下来确定小数点的位置应该是从最后位置往前移8位，也刚好到了 1 的前面。

原因和十进制是一样的。

十进制最终得到的结果。我们在确定小数点的时候，采用的最原始的方法是看一下被乘数（0.985）

它小数点往前移了3位，乘数（0.211）是往前移3位。所以这两个数加起来总共需要从最后位置往前移 6

位。

用这样的方式来确定小数点的位置，二进制的确定方式也是一样的。

现在我们使用和之前类似的思路，把这个式子进行一个完善。

其实每一位和被乘数的积进行错位相加的原因是这样的。我们把乘数按位权进行展开，把被乘数与

乘数各个项分别进行相乘相加，进行展开，就会得到这样的一个式子。如下：

第一项对应于 1101 乘以 2 的- 8 次方，也就是最低位的位积。第二个部分是对应了次低位的位积。

第三部分乘了一个0，但是我们还是把它统一的写成 0. 000000 这样的形式，保持队形一致。最后这一

项也是类似。

所以我们模仿十进制得到的上图左边这种乘法规则，其实是正确无误的。

我们把它展开就可以看到背后的逻辑。

所以二进制的原码乘法实现起来要比十进制还要方便。因为二进制的乘数每一位只有可能出现 0 或

者 1 这样的两种情况。

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