【老生谈算法】matlab实现共轭梯度（CG）算法.docx
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2024-05-16
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共轭梯度（CG）算法
使用 MATLAB 实现共轭梯度（CG）算法
引言
共轭梯度（Conjugate Gradient, CG）算法是一种用于求解大型稀疏线性方程组的高效迭代方法，尤其适用于对称正定矩阵。该
方法通过利用已计算的信息来构建搜索方向，从而在每次迭代中更快地逼近解。本文将详细介绍如何在 MATLAB 中实现共轭梯
度算法，并通过一个示例来验证其效果。
共轭梯度算法原理
共轭梯度算法基于一个关键概念：共轭方向。对于给定的对称正定矩阵 A，如果存在一组非零向量{p_0, p_1, ..., p_{n-1}}，使
得对于所有 i ≠ j，都有 p_i^T A p_j = 0，则称这组向量为 A 共轭的。共轭梯度算法通过迭代地构建这样的共轭方向来逼近线性
方程组的解。
算法的基本步骤如下：
1. 初始化：选择一个初始解向量 x_0 和初始残差向量 r_0 = b - Ax_0。
2. 计算初始搜索方向 p_0 = r_0。
3. 对于 k = 0, 1, 2, ...，执行以下步骤：
1. 计算步长 α_k = (r_k^T r_k) / (p_k^T A p_k)。
2. 更新解向量 x_{k+1} = x_k + α_k p_k。
3. 更新残差向量 r_{k+1} = r_k - α_k A p_k。
4. 如果||r_{k+1}||小于某个阈值，则停止迭代。
5. 否则，计算下一个搜索方向的系数 β_k = (r_{k+1}^T r_{k+1}) / (r_k^T r_k)。
6. 更新搜索方向 p_{k+1} = r_{k+1} + β_k p_k。
MATLAB 实现
下面是一个简单的 MATLAB 函数，用于实现共轭梯度算法：
matlab 复制代码
function x = conjugateGradient(A, b, x0, tol, maxIter)
% 初始化
r = b - A * x0;
p = r;
rsold = r' * r;
% 迭代过程
for k = 1:maxIter
Ap = A * p;
alpha = rsold / (p' * Ap);
x = x0 + alpha * p;
r = r - alpha * Ap;
% 检查收敛性
rsnew = r' * r;
if sqrt(rsnew) < tol
disp(['Converged after ', num2str(k), ' iterations.'])
return
end
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