【老生谈算法】MATLAB实现离散系统z域分析.doc

MATLAB 实现离散系统 Z 域分析 在本文中，我们将讨论如何使用 MATLAB 实现离散系统的 Z 域分析。离散系统是指使用离散时间序列来描述的系统，例如数字信号处理系统、控制系统等。Z 域分析是离散系统分析的重要工具之一，能够帮助我们分析系统的稳定性、频率特性和时域特性。 我们需要了解离散系统的数学模型。离散系统可以用线性常系数差分方程来描述，例如： $$y(n) = -\sum_{i=1}^{M} a_i y(n-i) + \sum_{j=0}^{N} b_j x(n-j)$$ 其中，$y(n)$ 是系统的输出序列，$x(n)$ 是输入序列，$a_i$ 和 $b_j$ 是系数。 接下来，我们可以将式（8-1）两边进行 Z 变换，得到： $$Y(z) = \frac{B(z)}{A(z)} X(z)$$ 其中，$Y(z)$ 是输出序列的 Z 变换，$X(z)$ 是输入序列的 Z 变换，$B(z)$ 和 $A(z)$ 是多项式。 将式（8-2）因式分解后，我们可以得到： $$H(z) = \frac{C}{(z-q_1)(z-q_2) \cdots (z-q_M)}$$ 其中，$H(z)$ 是系统函数，$C$ 是常数，$q_i$ 是零点。 系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性： * 系统单位样值响应 $(h(n))$ 的时域特性； * 离散系统的稳定性； * 离散系统的频率特性。 在 MATLAB 中，我们可以使用 `roots()` 函数来求解系统函数的零点和极点。例如： ```matlab A = [1 3/4 1/8]; P = roots(A) ``` 输出结果为： ```matlab P = -0.5000 -0.2500 ``` 在绘制零极点图时，我们需要注意系统函数的形式。系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按 $z$ 的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按 $1/z$ 的升幂次序排列。 在 MATLAB 中，我们可以使用 `ljdt()` 函数来绘制零极点图。例如： ```matlab function ljdt(A,B) % The function to draw the pole-zero diagram for discrete system p = roots(A); % 求系统极点 q = roots(B); % 求系统零点 p = p'; % 将极点列向量转置为行向量 q = q'; % 将零点列向量转置为行向量 x = max(abs([p q 1])); % 确定纵坐标范围 y = x; % 确定横坐标范围 clf hold on axis([-x x -y y]) % 确定坐标轴显示范围 w = 0:pi/300:2*pi; t = exp(i*w); plot(t) % 画单位园 axis('square') plot([-x x],[0 0]) % 画横坐标轴 plot([0 0],[-y y]) % 画纵坐标轴 text(0.1,x,'jIm[z]') text(y,1/10,'Re[z]') plot(real(p),imag(p),'x') % 画极点 plot(real(q),imag(q),'o') % 画零点 title('pole-zero diagram for discrete system') % 标注标题 hold off end ``` 例如，绘制系统函数 $(1+3z+2z^2)/(3-5z+10z^2)$ 的零极点图： ```matlab A = [1 3 2]; B = [3 -5 10]; ljdt(A,B) ``` 绘制的零极点图如图 8-1（a）所示。 我们可以使用 MATLAB 实现离散系统的 Z 域分析，包括系统函数的零极点分布、稳定性、频率特性等方面的分析。