【老生谈算法】matlab数学建模之差分方程模型.doc
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2022-07-03
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第十六章 差分方程模型
离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对
差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。。
§1 差分方程
1.1 差分方程简介
规定 只取非负整数。记 为变量 在 点的取值，则称 为
的一阶向前差分，简称差分，称
为 的二阶差分。类似地，可以定义 的 阶差分 。
由 及 的差分给出的方程称为 的差分方程，其中含 的最高阶差分
的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差
分方程 也可改写成 。
满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含
有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不
含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
称如下形式的差分方程
（1）
为 阶常系数线性差分方程，其中 是常数， 。其对应的齐次方
程为
（2）
容易证明，若序列 与 均为（2 ）的解，则 也是方程
（2）的解，其中 为任意常数。若 是方程（2）的解， 是方程（1）的
解，则 也是方程（1）的解。
方程（1）可用如下的代数方法求其通解：
（I）先求解对应的特征方程
（3）
（II）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。
（i）若特征方程（3）有 个互不相同的实根 ，则齐次方程（2）的通
解为
（ 为任意常数）
（ ii ） 若 是 特 征 方 程 （ 3 ） 的 重 根 ， 通 解 中 对 应 于 的 项 为
， 为任意常数。
（ iii ） 若 特 征 方 程 （ 3 ） 有 单 重 复 根 ， 通 解 中 对 应 它 们 的 项 为
，其中 为 的模， 为 的幅角。
（iv）若 是特征方程（3）的 重复根，则通解对应于它们的项为
为任意常数。
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Heyyana2023-09-07资源内容详尽，对我有使用价值，谢谢资源主的分享。
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