《计算方法》试卷

《计算方法》试卷是一份针对计算方法课程的考试资料，主要涵盖了数值分析中的核心概念和方法。这份试卷适用于00-01级缓考学生，考试时间设定为120分钟，共有4页题目，包括填空题、单项选择题和计算题。 一、填空题部分涉及了以下知识点： 1. 二分法：二分法是一种寻找实数方程根的方法，通过不断将根所在的区间减半来逼近根。在给定的例子中，初始区间为[1,2]，经过一步操作后，根应位于[1.5,2]之间。牛顿迭代法的迭代格式一般为xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)，其中f'(xn)是f(x)在xn处的导数。 2. 高斯型求积公式：这是一种数值积分的方法，三点式高斯求积公式可以用来近似计算函数在一定区间的定积分，代数精度为3，表示它能精确计算最多三次多项式的积分。 3. 矩阵谱半径和条件数：谱半径是指矩阵所有特征值绝对值的最大值，A的谱半径ρ(A)表示其稳定性。条件数Cond(A)则衡量了矩阵运算的敏感性，数值越大，计算的稳定性越差。 4. 梯形公式和抛物线公式：梯形公式是数值积分的一种，用于近似定积分。抛物线公式具有较高的代数精度，意味着它可以精确积分二次多项式。 5. 雅可比迭代法：用于解线性方程组的迭代方法，迭代矩阵的谱半径ρ(J)决定了迭代的收敛性。 6. 浮点数的有效数字和相对误差限：有效数字表示数值的精度，而相对误差限是衡量数值计算精度的标准。 7. 微分与积分的数值计算：三点式求导公式可以估算函数的导数值，抛物线求积公式用于近似积分。 二、单项选择题涉及到的计算方法知识： 1. LDLT分解法要求矩阵A是对称且各阶顺序主子式均不为零。 2. 截断误差源于有限精度计算导致的误差。 3. 反幂法主要用于求非奇异矩阵的按模最小特征值。 4. 迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f的收敛条件是M的谱半径ρ(M)<1。 5. Seidel迭代法要求矩阵的各阶顺序主子式不为零。 6. 差商是函数在某点的局部线性近似。 7. 矩阵的谱半径ρ(A)是-4。 8. 五点的高斯求积公式的代数精度是5。 9. 幂法的收敛速度与特征值的分布有关。 三、计算题部分主要考察具体计算能力，包括Hermite插值、Seidel迭代法解方程组、改进的欧拉法求解微分方程、曲线拟合以及牛顿迭代法求解指数的近似值等。 综合来看，这份试卷全面测试了学生的计算方法理论知识和应用技能，包括数值解法、矩阵理论、数值积分、迭代法以及误差分析等多个方面。