### 计算方法知识点解析
#### 一、填空题解析
**1. 分段差商计算**
- **题目:** 设\(f(x)=2x^7+x^3+1\)，则\(f[20,21]=\)，\(f[20,21,\ldots,27]=\)，\(f[20,21,\ldots,28]=\)
- **解析:** 在计算方法中，分段差商是用于构建插值多项式的工具之一。这里我们需要计算给定区间上的分段差商。
- \(f[20,21]\)表示的是两点之间的分段差商，可以理解为这两个点处函数的平均斜率，即：
\[
f[20,21] = \frac{f(21)-f(20)}{21-20} = \frac{(2 \cdot 21^7 + 21^3 + 1) - (2 \cdot 20^7 + 20^3 + 1)}{1}
\]
- \(f[20,21,\ldots,27]\)表示的是这些点之间的分段差商，通常通过递归方式计算。由于没有给出具体的递归公式，这里只给出概念性的解释，实际计算较为复杂。
- 同理，\(f[20,21,\ldots,28]\)也是类似地通过递归方式计算得到。
**2. 矩阵范数与谱半径计算**
- **题目:** 设\(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)，则\(\|A\|_1=\)、\(\|A\|_\infty=\)、\(\rho(A)=\)
- **解析:**
- \(\|A\|_1\)是一范数，表示矩阵各列元素绝对值之和的最大值，即\(\|A\|_1 = \max(|1| + |-1|, |2| + |2|) = 4\)。
- \(\|A\|_\infty\)是无穷范数，表示矩阵各行元素绝对值之和的最大值，即\(\|A\|_\infty = \max(|1| + |2|, |-1| + |2|) = 3\)。
- \(\rho(A)\)是矩阵\(A\)的谱半径，即\(A\)的所有特征值的模的最大值。由于\(A\)是对称矩阵，它的特征值可以通过求解特征方程得到，进而得到谱半径。
**3. Dolittle 分解**
- **题目:** 做Dolittle分解\(\begin{pmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \end{pmatrix}\)
- **解析:** Dolittle分解是一种将矩阵\(A\)分解为单位下三角矩阵\(L\)和上三角矩阵\(U\)的形式，即\(A = LU\)。这里的分解需要通过解一系列线性方程来完成，具体步骤略。
#### 二、解答题解析
**4. 最小二乘拟合**
- **题目:** 对如下数据作出\(y(x) = ax^3 + b\)形式的拟合函数:
\[
x_i: 1.0, 2.0, 3.0, 4.0; y_i: 2.0, 4.0, 3.2, 5.0
\]
- **解析:** 使用最小二乘法进行拟合，首先建立线性方程组，然后通过求解该方程组来确定参数\(a\)和\(b\)的值。
- 构建方程组\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \\ 1 & 2 & 9 & 27 \\ 1 & 4 & 27 & 64 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3.2 \\ 5 \end{pmatrix}\)，然后求解该方程组即可。
**5. 多项式插值**
- **题目:** 设\(f(x) = x^5 + x + 1\)，试构造一个最低阶的插值多项式\(q(x)\)满足条件\(q(−1) = f(−1), q(0) = f(0), q(1) = f(1), q′(0) = f′(0)\)，并写出误差表达式。
- **解析:** 插值多项式\(q(x)\)的构建基于拉格朗日插值法或牛顿插值法。本题需要利用给定的条件来构造插值多项式，并考虑导数条件\(q′(0) = f′(0)\)。误差表达式通常是根据拉格朗日余项来确定的，形式为\(R(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)\)，其中\(\xi\)位于插值节点之间。
**6. 幂法求特征值**
- **题目:** 用幂法求矩阵\(A = \begin{pmatrix} 9 & -29 & 13 \\ -2 & 6 & -2 \\ -10 & 34 & -14 \end{pmatrix}\)的特征值，若干步后，得到如下结果，试分析矩阵\(A\)的按模最大特征值和相应的特征向量。
\[
k: 6, (-12.8014, 6.9905, 19.7919); 7, (-60.6427, 27.962, 88.6047); \ldots
\]
- **解析:** 幂法是一种常用的近似求解矩阵最大特征值及其对应特征向量的方法。在这个过程中，我们从一个初始向量开始，不断乘以矩阵\(A\)并归一化，直到收敛。从题目给出的数据可以看出，随着迭代次数的增加，特征向量逐渐接近真实值。例如，第6次迭代后的特征向量为\((-12.8014, 6.9905, 19.7919)\)，这表明随着迭代次数增加，向量趋近于矩阵的最大特征值对应的特征向量。
**7. 牛顿迭代求解非线性方程组**
- **题目:** 用牛顿迭代求如下的非线性方程组的根，要求误差\(\epsilon < 10^{-5}\)，取初值为\((2.006, −2.003)^T\)。
\[
\left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^3 + 2x = 0 \\ x^3 + y^2 + 5y = 2 \end{array} \right.
\]
- **解析:** 牛顿迭代法是一种有效解决非线性方程组的方法。这里首先需要构造雅可比矩阵，然后通过迭代更新向量\((x, y)\)，直至满足误差要求为止。迭代过程中的每一步都需要解一个线性方程组来更新\((x, y)\)的值。
**8. 迭代法求解线性方程组**
- **题目:** (1)讨论用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解\(Ax = b\)时的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛较快，其中\(A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)；(2)用Gauss-Seidel迭代解方程组，取初值为\(x^{(0)} = (1, 1, 1)^T\)，迭代2步。
- **解析:**
- **(1) Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代的收敛性：**
- Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法都是求解线性方程组的迭代方法。Jacobi迭代法在每一步迭代中使用的是前一步的结果，而Gauss-Seidel迭代法则使用当前步已更新的值。一般来说，若系数矩阵\(A\)是对角占优的，则两种方法都收敛。对于本题中的矩阵\(A\)，由于它是对角占优的，因此两种方法都收敛。
- **收敛速度：**Gauss-Seidel迭代法通常比Jacobi迭代法收敛得更快，因为后者在每一步迭代中使用了更多的旧信息。
- **(2) Gauss-Seidel迭代法求解：**根据题目给定的方程组和初值，应用Gauss-Seidel迭代法迭代两次，具体计算过程省略。
**9. 常微分方程初值问题的数值解法**
- **题目:** 对于常微分方程初值问题，分别推导出该常微分方程的线性多步法格式，分析格式(A)的局部截断误差；构造一种预估-校正格式。
- **解析:**
- **(1) 线性多步法格式推导：**
- **(A) 当\(p = 0\)时**，采用显式欧拉法或后向欧拉法来推导相应的格式。
- **(B) 当\(p = 1\)时**，可以考虑使用梯形法或改进的欧拉法等，同样地，需要根据给定的积分点来确定具体的格式。
- **(2) 局部截断误差分析：**局部截断误差是指数值解与精确解在单个时间步上的偏差，对于格式(A)，其局部截断误差通常是\(O(h^2)\)或更高阶。
- **(3) 预估-校正格式构造：**预估-校正格式通常先使用低阶方法（如显式欧拉法）得到一个初步的解（预估值），然后使用更精确的方法（如后向欧拉法或梯形法）进行修正。具体构造时，需要根据问题的特点选择合适的预估和校正方法。
