2009 数学建模C题参考答案

《数学建模与卫星测控》 数学建模在解决实际问题中发挥着至关重要的作用，尤其是在卫星测控这样的高科技领域。全国建模大赛中，针对“2009数学建模C题”的优秀论文，深入探讨了卫星测控过程中的关键问题，以确保对卫星和飞船的全程跟踪测控。 问题的核心在于如何确定最少数量的测控站，以覆盖卫星或飞船在地球上的整个运行轨迹。当所有测控站与卫星的运行轨道共面时，可以通过几何分析来解决。假设地球为理想球体，测控站只能观测到其所在点切平面以上一定的角度范围，设这个角度为最大倾角的一半α。由于卫星在地球表面的切线上方运行，我们需要找到至少多少个测控站，使得这些站的观测范围能覆盖卫星的整个轨道。通过构建切面图，可以得出至少需要2π/(2α)个测控站。 然而，实际情况更为复杂，卫星的运行轨道可能与地球赤道平面存在一定的夹角θ。考虑到地球自转，卫星连续两圈的经度会有所差异。在这种情况下，问题转变为如何覆盖卫星运行轨迹所形成的环带形区域。当轨道夹角小于观测角时，测控站仍可在赤道上均匀分布，只要数量足够多。若夹角超过观测角，就需要在赤道两侧建立相等数量的测控站，通过调整站的位置和角度，以覆盖卫星运行的全部空间。 论文通过精细的几何分析，建立了模型，如在图2.1中，当夹角θ小于观测角β时，可以通过求解几何关系来确定所需测控站的数量。而在图2.6和图2.7的场景下，当夹角θ大于观测角β时，测控站需在赤道两侧布置，以最大化覆盖范围。 此外，模型假设了地球为刚体旋转，卫星沿圆形轨道运动，并忽略了地理和经济因素的影响。这样的简化处理有助于集中解决核心问题，即测控站的最优化配置。实际操作中，还需要综合考虑其他因素，如通信延迟、设备性能以及测控站的建设成本等。 总结来说，该模型提供了一种解决卫星测控问题的方法，通过数学建模分析，可以找出最少的测控站配置，以实现对卫星和飞船的全程跟踪测控。这种方法不仅适用于理论研究，也为实际的航天工程提供了理论支持。