空中防撞系统的模型设计
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2010-06-29
16:25:19
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第 26 讲 空中防撞系统的模型设计
CMCM-95A 是关于建立飞机防撞系统模型的问题。原题为：
在约 10000 米高空的某边长 160 千米的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平
飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。
当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否
会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进的）飞
机飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下：
1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8 千米；
2）飞机飞行方向角调整的幅度不超过 30 度；
3）所有飞机飞行速度均为每小时 800 千米；
4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离在 60 千米以上；
5）最多需考虑 6 架飞机；
6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据
进行计算（方向角误差不超过 0.01 度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。
设该区域 4 个顶点的座标为（0,0），（ 160,0），（ 160,160），（ 0,160），记
录数据为：
飞机编号 横坐标 纵坐标 方向角（度）
1 150 140 243
2 85 85 236
3 150 155 220.5
4 145 50 159
5 130 150 230
新进人
0 0 52
试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。
§1 问题的实际背景
本问题是从空中交通管制问题中抽象出来的。空中交通管制是保证飞机飞行安全
以及提高飞行效率的重要手段。在航空工业日益发达的今天，空中交通变得越来越繁
忙与拥挤，空中交通管制系统的改进问题也日渐被提到议事日程上来，设想在一繁忙
的航空港附近或主要航线的交叉地带，经常有不同航向、不同高度层的飞机在飞行，
如何调度它们，使它们的飞行过程中互相不相撞，就构成了交通管制系统要解决的主
要问题。
目前航空界所采取的一种方案是，把空间区域按高度分层（例如以 600 米间隔为
一层），然后设定一水平坐标系，规定飞行方向角在 0 度到 180 度之间的飞机在偶数
层飞行，方向角在 180 度至 360 度之间的飞机在奇数层飞行。这样使得同一层内飞机
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