李庆扬-数值分析第五版第2章习题答案(20130625).pdf

根据提供的文件信息，我们可以归纳和展开以下几个核心知识点： ### 一、拉格朗日插值基函数 **定义**：拉格朗日插值基函数是形式为 \(\displaystyle l_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j}\) 的函数，其中 \(x_0, x_1, \ldots, x_n\) 是给定的不同节点。 **构造方法**： 1. 对于每个节点 \(x_i\)，构建一个基函数 \(l_i(x)\)，使得当 \(x = x_i\) 时，\(l_i(x_i) = 1\)，而对于其他节点 \(x_j\) (\(j \neq i\))，则有 \(l_i(x_j) = 0\)。 2. 这样构建的 \(l_i(x)\) 满足 \(\displaystyle l_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j}\)。 **重要性质**： 1. 当 \(x = x_k\) 时，\(l_k(x_k) = 1\)；对于 \(k \neq i\) 的情况，\(l_i(x_k) = 0\)。 2. 所有基函数的和为 1，即 \(\sum_{i=0}^n l_i(x) = 1\)。 ### 二、牛顿插值基函数及其与单项式基的区别 **牛顿插值基函数** 形式为 \(\{1, (x-x_0), (x-x_0)(x-x_1), \ldots, (x-x_0)(x-x_1) \cdots (x-x_{n-1})\}\)。 **与单项式基的区别**： - 单项式基形式为 \(\{1, x, x^2, \ldots, x^n\}\)。 - 牛顿插值基函数包含了节点之间的差分，而单项式基仅依赖于变量 \(x\) 的幂次。 - 牛顿插值基函数更适合解决实际问题中的插值问题，因为它能够更有效地处理节点间的数据。 ### 三、函数的 \(n\) 阶均差及性质 **定义**：对于一组节点 \(x_0, x_1, \ldots, x_n\)，函数 \(f(x)\) 的 \(n\) 阶均差定义为 \([f; x_0, x_1, \ldots, x_n]\)。 **重要性质**： 1. 均差与节点的排列顺序无关，即均差具有对称性。 2. \(k\) 阶均差可以表示为函数值 \(f(x_0), f(x_1), \ldots, f(x_n)\) 的线性组合。 3. 若 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上存在 \(n\) 阶导数，并且节点 \(\{x_0, x_1, \ldots, x_n\} \subset [a, b]\)，则 \(n\) 阶均差与 \(n\) 阶导数之间有关系：\(\displaystyle [f; x_0, x_1, \ldots, x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\)，其中 \(\xi\) 位于 \([a, b]\) 内。 ### 四、拉格朗日插值多项式与牛顿插值多项式 **拉格朗日插值多项式** 形式为 \(\displaystyle L(x) = \sum_{i=0}^n y_i l_i(x)\)。 **牛顿插值多项式** 形式为 \(\displaystyle P(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + \cdots + a_n(x-x_0)(x-x_1) \cdots (x-x_{n-1})\)。 **异同点**： - **未知数**：拉格朗日插值多项式的基函数已知，但系数未知；牛顿插值多项式的基函数未知，但系数已知。 - **适用场景**：牛顿插值多项式更适用于实际问题中的数据插值，因为它能更好地处理节点间的数据。 ### 五、插值多项式系数的确定 **矩阵形式**： 1. **单项式基底** 下，系数矩阵 \(A\) 是一个上三角矩阵。 2. **拉格朗日基底** 下，系数矩阵 \(A\) 的具体形式需根据实际情况而定，通常较为复杂。 3. **牛顿基底** 下，系数矩阵 \(A\) 是一个下三角矩阵。 **计算工作量排序**：牛顿插值 < 拉格朗日插值 < 单项式插值。 ### 六、插值多项式的余项及其应用 **拉格朗日插值多项式的余项** 形式为 \(\displaystyle R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x-x_i)\)。 **牛顿插值多项式的余项** 形式为 \(\displaystyle R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x-x_i)\)。 **误差估计**：通过余项公式可以估算插值多项式的截断误差。 ### 七、埃尔米特插值与泰勒多项式 **埃尔米特插值** 最显著的特点是在节点上不仅要求函数值相等，还要求导数值相等，甚至更高阶导数值相等。 **泰勒多项式** 定义为：\(\displaystyle T_n(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\)。 **条件下的插值公式**：泰勒多项式是一种特殊的插值公式，它基于函数在某一点及其附近的行为来近似该函数，特别适用于函数在该点及其附近的信息已知的情况。 以上就是基于给定文件信息中提及的主要知识点的详细阐述。这些知识点涵盖了数值分析中的关键概念和技术，对于深入理解数值分析方法具有重要意义。